Радиус основания конуса равен 12,а высота конуса равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Решение:
а) Пусть AS и BS - взаимно перпендикулярные образующие, т.е. AS⊥BS. Так как сечение проходит через взаимно перпендикулярные образующие и вершину конуса S, то сечение конуса плоскостью - треугольник△ASB.
б) Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Образующие в конусе равны → AS = BS и△ASB - равнобедренный. Тогда высота SH, проведённая из вершины прямого угла, также является биссектрисой и медианой, т.е. AH = BH.
SH - наклонная, ОН - проекция наклонной. АВ⊥SH, тогда AB⊥OH (по теореме о трёх перпендикулярах).
Проведём OK⊥SH → OK - расстояние от центра основания до плоскости сечения.
△SOB: SB² = SO² + BO² = 25 + 144 = 169 → SB = 13
△ASB: AB² = AS² + BS² = 169 + 169 = 338 → AB = 13√2 и AH = BH = (13√2)/2
△SHB: SH² = SB² - HB² = 169 - 169/2 = 169/2 → SH = (13√2)/2
△OHB: OH² = OB² - HB² = 144 - 169/2 = 119/2 → OH = (√119)/(√2)
△OHS: OH·OS = OK·SH
OK = (OH·OS)/SH = (√119·5·2)/(√2·13·√2) = (5√119)/13
Ответ: OK = (5√119)/13
