Многие считают, что №19, последнее задание в ЕГЭ по математике профильного уровня, - удел олимпиадников. Даже учителя часто называют 19-ю задачу "олимпиадной" или "задачей по теории чисел". Однако, это не так. В последние годы наблюдается тенденция к упрощению задачи №19, да и позиционируется она как "задача на построение и исследование математических моделей". В задаче №19 три пункта: за пункты а) и б) дают по 1 баллу, а за пункт в) - два.
Пункт а) решают даже слабые ученики, пункт б) сложнее, с ним справляются уже меньшее количество учеников. Получить оба балла за пункт в) могут немногие.
Вот пример задачи этого года:
На доске написано n единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано n=12 единиц, то могла получиться, например, такая сумма:
1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147.
а) Могла ли сумма равняться 150, если n = 60?
б) Могла ли сумма равняться 150, если n = 80?
в) Чему могло равняться n, если полученная сумма чисел равна 150?
В прошедшем 2019-2020 учебном году из 14 моих учеников самой обычной школы 2 человека получили 3 балла за эту задачу, 2 ученика набрали по 2 балла и 6 учеников набрали по 1 баллу. Причем один из учащихся из 5 первичных баллов получил 1 балл именно за эту задачу, что в переводе на 100-балльную шкалу дало "привес" аж целых 5 тестовых баллов (о том, как начисляют баллы в ЕГЭ по математике профильного уровня почитайте мою статью)!
Хочешь научиться решать подобные задачи? Решай их! Смотри видеоразборы! Я в своей школе уже второй год веду спецкурс по задачам №18 и №19. И начинаю я, как раз с обучения решению задач №19.
Есть несколько главных, на мой взгляд, положений, о которых я постоянно говорю своим ученикам:
1. Один балл за задачу №19 может набрать каждый! Вы же умеете читать? Вот и прочитайте задачу несколько раз, постарайтесь понять, о чём говорится в ней, подберите пример. Важно: описывать то, как вы подобрали пример не нужно! Достаточно просто и в решении, и в ответе написать фразу: "Да, например …" (понятно, что вместо многоточия приводится конкретный пример). Меня поражают ученики, покинувшие аудиторию раньше, чем закончился экзамен, при этом не решившие №19 (а).
2. Запомните простую "формулу" для решения задачи №19:
В пункте а) как раз обычно ответ "да", но просто так его нельзя дать. Надо привести пример. В задаче этого года Ответ: а) да, например, 10 слагаемых равны 11 и 40 слагаемых равны 1. Всё! Как вы получили этот ответ никого не интересует! На черновике вы могли составить и решить уравнение, а могли просто осуществлять подбор, случайно натолкнувшись на подходящий пример.
А вот если вы говорите "нет", то, как говорил известный преподаватель математики в одном из своих вебинаров по олимпиадной математике: "Я подбирал и так, и этак, всё перепробовал... Мамой клянусь, невозможно пример подобрать!", - это не доказательство!
В вышеуказанной задаче 2020 года под пунктом б) могло быть написано следующее:
Пусть k (шт) 11, тогда (80 - 2k) шт единиц. Значит, 11k+(80-2k)=150. Отсюда k = 70:9 - не натуральное число, поэтому нельзя. Если взять число 111 (только один раз, т.к. 111*2=222>150), то 111+11k+(80-2k)=150, т.е. k<0, что тоже невозможно. Ответ: нет.
Итак, на первом этапе обучения надо отрабатывать именно "формулу": "ДА+пример, "НЕТ"+доказательство".
У каждого учителя, думаю, есть свои подборки задач "от простого" к "сложному". Каждый из тех, кто занимается подготовкой к решению задачи (не исключение и задача №19) использует в своей работе различные источники информации: книги, задачи прошлых лет и др.
Моя подборка задач для самого первого занятия выглядит так (задачи подобраны в целом очень лёгкие, но использующие различные подходы к решению.):
№1. Может ли сумма цифр трёхзначного числа быть равной: а) 22 ; б) 28?
№2. Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно: а) 28 ; б) 22?
№3. Волшебник Мерлин пригрозил заменить в слове ЗЕМЛЕТРЯСЕНИЕ буквы на цифры (одинаковые буквы на одинаковые цифры, разные – на разные), причём если число окажется простым, случится настоящее землетрясение. Стоит ли опасаться?
№4. 75 лошадей расставили в 24 конюшнях. Может ли число лошадей в каждой конюшне быть нечётным?
№5. Бесконечная арифметическая прогрессия a1, a2, …, состоит из различных натуральных чисел. Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, a2,…,a7 ровно три числа делятся на 100?
Домашнее задание:
ДЗ№1. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 900 000 рублей (размер премии каждого сотрудника — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 150 купюр по 1000 рублей и 150 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 60 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 140 000 рублей, а остальные поделить поровну на 40 сотрудников?
ДЗ№2. Красный карандаш стоит 17 рублей, синий — 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея всего 495 рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. (статград2015)
а) Можно ли купить при таких условиях 32 карандаша?
б) Можно ли купить при таких условиях 35 карандашей?
в) Какое наибольшее число карандашей можно купить при этих условиях?
Ближайшие два занятия будут на темы "Полный перебор" и "Последняя цифра числа".
А Вы учите своих учеников решать задачу №19? Поделитесь своими мыслями по этому поводу в комментариях. Напишите, нужно ли мне описывать следующие занятия по этой теме? Если Вы старшеклассник, расскажите, как готовитесь (и готовитесь ли вообще) к решению задачи №19 ЕГЭ по профильной математике.
Ставьте лайки, подписывайтесь на мой канал, чтобы не пропустить ничего важного! На моём канале вышло уже много статей о ЕГЭ! Читайте, пишите комментарии, делитесь с друзьями в соцсетях!
