В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М – середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.
А) Докажите, что КМ = КВ.
Б) Найдите объём пирамиды CDKM.
Решение:
А) SO – высота пирамиды, т.е. SO⊥(ABC); прямые MD и FC пересекаются в точке K1.
Вспомним признак перпендикулярности плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Т.к. SO⊥(ABC) и SO∈(SFC), то (ABC)⊥(SFC).
Тогда KK1⊥(ABC) → KK1 – высота треугольника MKD.
Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF:
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, значит соответственные углы DAM и DOK1 равны, т.е. ∠DAM= ∠DOK1=60°.
По признаку параллельности прямых AM||OK1.
AO=DO, AM||OK1 → OK1 – средняя линия ΔADM → MK1=K1D → KK1 – высота и медиана в ΔMKD → ΔMKD – равнобедренный, т.е. KМ=KD.
Б) Построим пирамиду CDKM: