В одном из блогов Дзена опубликован разбор планиметрической задачи № 16 из второй части варианта XIV демоверсии ЕГЭ-2020 (под редакцией И.В. Ященко). Опубликованное решение мне не понравилось ни по форме, ни по содержанию.
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ АС, если известно, что средняя линия трапеции равна 2√5, ∠AOD = 150°, где точка О — центр окружности, вписанной в трапецию, и AD > BC.
Указания к решению п. а)
В комментарии подписчика (Александр Токарев) имеется более короткое доказательство.
Обозначим AD = a, BC = b (не имеет значения a > b или b > a),
AB = CD = c.
Для доказательства п. а) достаточно обосновать, что BH — биссектриса ∠ABC. Почему? А для этого неплохо бы доказать, что △ABН равнобедренный. Почему?
1) Из условия задачи следует, что a + b = 2с. Почему?
2) Несложно вычислить «Кусочек» нижнего основания
AH = (a + b) / 2. Почему?
Таким образом, △ABН равнобедренный, и BH — биссектриса ∠ABC.
Предлагаю самостоятельно завершить решение задачи.
Примечание 1. При доказательстве п. а) использовался часто применяемый трюк: мы доказывали не то, что спрашивается в задаче.
Примечание 2. Изображать вписанную окружность необязательно (но центр окружности пригодится), а при решении п. б) наличие окружности будет даже мешать. Старайтесь не захламлять чертеж!
(В моем решении отрезок BH также мешается ...)