В Фейсбуке появилась группа, в которой взрослых гуманитариев учат математике.
В этой группе можно задавать вопросы «А зачем это вообще знать?» и «Почему это нужно доказывать?». Здесь можно и нужно делать ошибки. Но нельзя сомневаться в своих способностях к математике и категорически нельзя кого-либо критиковать (кажется, для гуманитариев это должно быть непросто).
Группу ведут два профессионала, повстречавшиеся в сети: профессор математики Нелли Литвак и журналист Алла Кечеджан. Нелли, как положено профессору, даёт задания и разбирает решения, помогая добраться до сути. А Алла, как и положено журналисту, задаёт вопросы и придумывает свои примеры, чтобы общение в группе развивалось и приближало всех к пониманию Великой и Ужасной Математики.
Алла Кечеджан, журналист с 20-летним стажем:
Мы обещаем, что в результате эксперимента ни один гуманитарий не пострадает. А курс математики в социальных медиа сблизит физиков и лириков до уровня понимания.
Нелли Литвак, профессор прикладной математики, университет Твенте, Нидерланды:
Начинаем с прямоугольников и теоремы Пифагора. Потом будут прямые линии и даже синусы и косинусы. Обещаю, что синусы и косинусы поймут ВСЕ! А если пойдёт хорошо, то доберёмся и до логарифмов! Это совсем не так сложно, как нас в школе запугивали.
Newtonew поддерживает инициативу по реабилитации тех, кого в школе запугали математикой, и предлагает присоединиться к занятиям в группе «Математика — великая и ужасная!». А у нас на сайте Нелли будет делиться пройденным материалом.
Итак, Нелли начинает занятие...
Занятие 1. Теорема Пифагора
ЗАДАЧА №1. ПУТЬ ПО ПРЯМОЙ
Начнём с того, что точно каждый помнит со школьных времён — с теоремы Пифагора.
Это та самая теорема, которая «в-прямоугольном-треугольнике-сумма-квадратов-катетов-равна-квадрату-гипотенузы». Для желающих шпаргалка на рисунке. Очень скоро мы её сами докажем. Сначала давайте разберёмся, почему на эту теорему имеет смысл потратить драгоценное время.
Зачем вообще нужна теорема Пифагора? О чём она?
Автор книги «Сожгите класс математики» Джейсон Уилкеc (Jason Wilkes, "Burn Math Class") называет теорему Пифагора «теоремой о кратчайшем пути». Давайте попробуем разобраться, почему. Начнём с задания.
ЗАДАНИЕ. Алиса отправилась из дома Герцогини к Белой Королеве. По дороге она зашла к Шляпнику. От дома Герцогини до Шляпника 3 километра ровно на юг. От Шляпника до Королевы 4 километра ровно на восток. Какое расстояние по прямой от Герцогини до Белой Королевы?
Можете нарисовать рисунок. Подсказка: конечно же, вам понадобится теорема Пифагора!
ЛИРИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ. ЗАЧЕМ МАТЕМАТИКАМ НУЖНЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Вы наверняка прекрасно справились с подсчётом пути по прямой. Потому что знали теорему Пифагора и просто подставили числа. А если бы мы эту теорему не знали? Ведь понятно, что люди её знали не всегда. Как появляются математические результаты вроде этой теоремы?
Любая формула — это установление связей.
В данном случае это связь между расстоянием на юг и восток и расстоянием по прямой. Наш здравый смысл чётко говорит нам, что если расстояния на юг и восток известны, то для расстояния по прямой возможен только один правильный ответ. Значит, должна быть формула, в которую можно подставить расстояния на юг и восток и получить расстояние по прямой! Именно исходя из такой интуиции математики отправляются на поиск новых результатов.
Иногда до формулы можно догадаться, например, исходя из опыта с другими задачами или порой поразительной интуиции. Если верить фильму про гениального индийского математика-самоучку Рамануджана «Человек, который познал бесконечность», он именно догадался до многих сложных формул. Но догадки мало! Если вы смотрели этот фильм, то помните скептическую реакцию профессоров Кэмбриджа: «Тут нет доказательств!»
Почему математики так сильно хотят доказательств? Вовсе не потому, что они великие и ужасные. Доказательства необходимы!
Если мы не знаем формулу, то доказательство — это способ её найти. Если же мы догадались до формулы, то доказательство позволяет убедиться, что формула верна.
Сейчас, с развитием компьютеров, можно легко подставить числа в самую мудрёную формулу и проверить ответ. Но если нет доказательства, то где гарантия, что формула верна для ВСЕХ чисел? Возможности компьютера велики, но не бесконечны. (Хотя сейчас в информатике развиваются методы автоматического доказательства теорем).
Я помню, как аспирантка на нашей кафедре здесь, в Голландии, сидела, уставившись в отчаянии на довольно велико-ужасную формулу: «Я знаю, что это правильно! Это не может быть по-другому, я сто раз проверила на числах! Как же это доказать?!» Кстати, мне удалось ей помочь, и в какой-то степени благодаря нашему классическому российскому образованию с толстенными задачниками по анализу. Фамилию «Демидович» не забуду никогда!
В общем, любовь математиков к доказательствам возникла из необходимости и естественной логики нашей науки. Доказательства нам нужны, чтобы найти формулу или чтобы убедиться, что она верна.
Когда студенты говорят: «Мне нравится математика, но не нравятся доказательства», — они просто пока не поняли суть математики.
Отчасти это следствие того, как математика преподаётся в школе, с большим упором на запоминание и ловкость в манипуляциях. Хотя весь смысл именно в доказательствах и понимании связей.
ЗАДАЧА №2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
Пришло время доказать теорему Пифагора.
Я добавила два рисунка. На одном — всё, что мы знаем. На другом — рисунок, из которого получится доказательство.
Посмотрите на рисунок с большим квадратом слева и треугольником справа. Именно об этом треугольнике справа идёт речь. Треугольник прямоугольный, и у него три стороны: a,b,c.
Нам нужно доказать, что (a в квадрате) плюс (b в квадрате) равно (c в квадрате).
Как это сделать? Формула вовсе не очевидна, из самого треугольника она явно не следует. Есть очень много доказательств этой теоремы, в том числе через знаменитые «Пифагоровы штаны». В любом доказательстве нужно как-то «связать» стороны треугольника.
Большой квадрат — это тот самый приём, «догадка», которая позволяет связать стороны треугольника удобным образом и получить ответ.
Это очень простое доказательство, может быть, даже самое простое. В книге «Удовольствие от x» Стивен Строгац называет этот подход к доказательству «умопомрачающим».
ЗАДАНИЕ. Докажите Теорему Пифагора. Вам понадобится то, что мы делали раньше, см. рисунок.
Можете дальше не читать и уже попробовать доказать. А можете воспользоваться подсказкой ниже.
ПОДСКАЗКА. Нужно посмотреть внимательно на большой квадрат и посчитать его площадь двумя способами:
• как площадь квадрата со стороной (a+b);
• как сумму площадей 4-х треугольников (по углам) и «маленького» квадрата со стороной с в середине (кстати, почему это квадрат? видите, почему его углы прямые?). Поскольку оба выражения — это площадь одного и того же квадрата, то они должны быть равны. Приравняйте два выражения, немножко сократите (это будет просто!) и получите Теорему Пифагора!
ЗДЕСЬ можно посмотреть решение и задать вопросы.
ЗАДАЧА №3. ПЛОЩАДИ ТРЕХ КВАДРАТОВ
Алла Кечеджан говорит, что для неё смысл теоремы Пифагора понятнее всего через площади квадратов. Числа с в квадрате — это не что иное, как площадь квадрата со стороной с. Это только один из многих примеров, когда алгебра напрямую связана с геометрией. Число в квадрате имеет прямое отношение к собственно квадрату. Отсюда и название — «с в квадрате».
Получается, что Теорема Пифагора — это теорема о площади трёх квадратов. Площадь квадрата со стороной c равна сумме двух площадей: площади квадрата со стороной a и площади квадрата со стороной b.
К счастью, наше доказательство очень легко модифицировать, чтобы увидеть те самые квадраты, и даже скобки раскрывать будет не нужно!
Посмотрите снова на рисунок.
Теперь представьте себе, что большой квадрат нарисован на бумаге, а треугольники вырезаны из бумаги другого цвета.
Конечно, если мы переставим треугольники в другие места, не вылезая за пределы большого квадрата, то площадь, не покрытая треугольниками, от этого не изменится.
Сейчас на рисунке незаштрихованная фигура, не покрытая треугольниками, это просто квадрат со стороной с, и его площадь равна c в квадрате.
ЗАДАНИЕ. Можете переставить треугольники так, чтобы 4 треугольника были в большом квадрате, а свободное место превратилось в два квадрата — со сторонами a и b? (Кстати, именно этот вариант доказательства приводит Стивен Строгац в книге «Удовольствие от х»).
Пожалуйста, попробуйте выполнить это задание самостоятельно, а потом можете свериться с решением!
РЕШЕНИЕ. На рисунке доказательство, которое приводит Стивен Строгац в книге «Удовольствие от х». Оно очень похоже на наше доказательство, но у него есть два преимущества:
-не нужно раскрывать скобки;
-можно увидеть любимые квадраты Алла Кечеджан. То есть теорема приобретает совершенно явный геометрический смысл.
Вспомните, что число с в квадрате — это площадь квадрата со стороной с. Теперь посмотрите на рисунок.
В большом квадрате сверху незаштрихованная фигура — это квадрат со стороной с, его площадь равна с в квадрате.
В большом квадрате снизу мы просто расположили треугольники по-другому. Незаштрихованная площадь осталась такая же! Но теперь она состоит из двух квадратов: со стороной а и со стороной b. То есть незаштрихованная площадь равна а в квадрате плюс b в квадрате.
Поскольку незаштрихованные площади в большом квадрате сверху и снизу равны, получаем теорему Пифагора: а в квадрате плюс b в квадрате равно с в квадрате.
Что и требовалось доказать!
ЛИРИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ. О ВКУСАХ НЕ СПОРЯТ
Я выбрала доказательство со скобками исключительно из собственного вкуса. Когда меня врасплох попросили доказать эту теорему на вечеринке, я вспомнила рисунок, но не вспомнила, как надо передвигать треугольники, поэтому обошлась раскрытием скобок. У меня так и осталось ощущение, что этот способ легче.
Но для любителей геометрических интерпретаций легче передвинуть треугольники! Кому как нравится...
Да, в математике, как и в моде, есть понятие «своего стиля».
В следующий раз будем вычислять длину кривой и разберёмся, что математики делают со сложными нерешёнными задачами. А если вам не терпится двигаться дальше, присоединяйтесь к группе бесстрашных гуманитариев в Фейсбуке, и математика будет для вас ближе и понятнее с каждым днём.
Источник: newtonew
