Funmath

Первоначально решим задачу №248: У вас есть кран с водой и раковина для слива. Составьте схему получения одного литра воды с помощью 7-ми и 12-ти литрового сосуда. Выполним операции НМ, ПМБ, ОБ (см. Переливания. Алгоритм решения. «Умный шарик» Я.И. Перельмана): 7:0 – 0:7 – 7:7 – 2:12 – 2:0 – 0:2 – 7:2 – 0:9 – 7:9 – 4:12 – 4:0 – 0:4 – 7:4 – 1:12 В меньшем сосуде (7-ми литровом) получаем требуемый литр воды. Решим задачу №247: Можно ли решить задачу №245 (см. здесь: Переливания. Алгоритм решения. «Умный шарик» Я...

Бытует история, что известный французский математик Симон Пуассон[1] в юности настолько заинтересовался предложенной ему задачей, что, увлекшись, посвятил свою дальнейшую жизнь математике. Некто имеет двенадцать пинт[2] вина и хочет подарить половину, но у него нет сосуда в шесть пинт. У него есть два пустых сосуда: один в 8 пинт, а другой в 5 пинт. Спрашивается: каким образом налить шесть пинт вина в сосуд на восемь пинт? Решение этой задачи (задача №56) вы можете найти здесь. Можно попытаться решить задачу №17: Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра...

Решим задачу №243: Семь белок собрали вместе 100 орехов. При этом никакие две белки не собрали по одинаковому количеству орехов. Необходимо доказать, что есть три белки, собравшие вместе не менее 50 орехов. В данном случае мы можем использовать для решения задачи «правило расположения», которое можно сформулировать следующим образом: «Расположите элементы исследуемого множества в порядке возрастания или в порядке убывания». Правило расположения является развитием идеи правила «крайнего». Решим нашу задачу, расположив белок в порядке убывания результата их труда...

2 рубля = 200 копеек. Возведем части равенства в квадрат. Получим: 4 рубля = 40 000 копеек. В чем ошибка данного рассуждения? Ошибка рассуждений в том, что в квадрат, в отличие от описанного в задаче примера, могут возводиться числа, а не величины. Число, как одно из понятий математики, может, помимо прочего, использоваться для выражения количественных характеристик неких объектов. В нашем случае, если бы говорили о возведении в квадрат двух чисел: 2 и 200, то перед этим мы вынуждены были бы записать:...

Реши, используя правило «крайнего», задачу №242: На плоскости расположено n прямых. При этом n≥3. Любые две прямые пересекаются и через каждую точку пересечения проходит не менее трех из данных прямых. Необходимо доказать, что все прямые пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения прямых буквой М. Предположим, пойдя способом «от противного», что М – не единственная точка пересечения прямых. Исходя из такой постановки вопроса, найдется прямая данной системы (обозначим её – l₁), которая не проходит через М...

Решим задачу №241: Верно ли утверждение, что не существует четверки натуральных чисел: x, y, z, u, удовлетворяющих уравнению Допустим, что утверждение, данное в задаче, неверное. То есть такие четверки натуральных чисел существуют. Рассмотрим те из них, для которых минимальна величина Если таковых четверок, для которых эта величина одинакова и минимальна, несколько, то рассмотрим любую из них. Предположим, что эта четверка: a, b, c, d. a² + b² делится на три тогда и только тогда, когда числа a и b кратны трем...

Решим задачу №240: На плоскости заданы n точек. Никакие три из заданных точек не лежат на одной прямой. Необходимо доказать, что существует окружность, проходящая через три из данных точек, но не содержащая внутри ни одной из данных точек. Представьте, что вы провели окружности через каждую тройку точек, получив при этом некоторое количество окружностей. Допустимо, что некоторые окружности могут слиться в одну. Утверждение, которое необходимо доказать, будет верно, если хотя бы одна из этих окружностей не содержит внутри себя ни одной из данных точек...

Решим задачу №239: Пусть n² неотрицательных чисел расположены в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов. При размещении должно быть выполнено следующее условие: если на некотором месте таблицы записан нуль, то сумма чисел столбца и строки, содержащих такую запись, не менее следующего значения: Докажите, что сумма всех чисел таблицы не менее чем Решение этой задачи почти ничем не отличается от решения задачи №238. Если n – число четное (см. задачу №238), то условиям задачи удовлетворяет таблица, на одной из диагоналей которой стоят числа, равные а на остальных – нули...

Условия задачи: В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягивать два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна 1/2. Вопрос: а) Каково минимальное возможное количество носков в ящике? б) Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно? Как мы уже разбирали в «События и вероятности», основную формулу классической теории вероятностей можно изложить так: Эта формула подходит для случаев, когда исходы опыта равновозможны и надо только вычислить вероятность «благоприятного» исхода...

У нас есть 7 яблок и 12 мальчишек, которые хотят получить равную долю. Вопрос: как 7 яблок разделить поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного яблока больше, чем на 4 части? Для решения нам необходимо четко расписать все введенные задачей ограничения: Яблок у нас 7. Желающих получить равную долю 12. Каждое яблоко должно быть разделено не более чем на 4 части. Если выразить в виде дроби, то мы должны получить равные части при делении 7 на 12: Исходная точка наших рассуждений — ограничение по количеству частей, на которые необходимо разделить яблоки...

Решим задачу №238: На квадратной шахматной доске размером n×n клеток расставлены ладьи (тура, башня). Условие, которому соответствует расстановка: если некоторое поле свободно, то общее количество ладей, стоящих на одной с этим полем горизонтали или на одной с ним вертикали, не менее n. Необходимо доказать, что на доске имеется не менее чем следующее количество ладей: Предложенная задача несколько труднее, чем задачи №235, 236, 237. Тем не менее, если вы внимательно изучили решения вышеуказанных задач, то вполне сможете справиться и с этой...

Решим задачу №235: Представьте себе бесконечную шахматную доску. На полях (в ячейках) этой доски записаны натуральные числа так, что каждое число равно среднему арифметическому четырех соседних чисел – верхнего, нижнего правого и левого. Сможем ли мы доказать, что все эти числа равны между собой? Для решения воспользуемся правилом «крайнего» (см. Правило (принцип) «крайнего»). В качестве «крайнего» используем наименьшее натуральное число. Такое число обязательно должно существовать среди чисел, записанных на полях нашей шахматной доски...