Правило "Крайнего"

Решим задачу №243: Семь белок собрали вместе 100 орехов. При этом никакие две белки не собрали по одинаковому количеству орехов. Необходимо доказать, что есть три белки, собравшие вместе не менее 50 орехов. В данном случае мы можем использовать для решения задачи «правило расположения», которое можно сформулировать следующим образом: «Расположите элементы исследуемого множества в порядке возрастания или в порядке убывания». Правило расположения является развитием идеи правила «крайнего». Решим нашу задачу, расположив белок в порядке убывания результата их труда...

Реши, используя правило «крайнего», задачу №242: На плоскости расположено n прямых. При этом n≥3. Любые две прямые пересекаются и через каждую точку пересечения проходит не менее трех из данных прямых. Необходимо доказать, что все прямые пересекаются в одной точке. Обозначим точку пересечения прямых буквой М. Предположим, пойдя способом «от противного», что М – не единственная точка пересечения прямых. Исходя из такой постановки вопроса, найдется прямая данной системы (обозначим её – l₁), которая не проходит через М...

Решим задачу №241: Верно ли утверждение, что не существует четверки натуральных чисел: x, y, z, u, удовлетворяющих уравнению Допустим, что утверждение, данное в задаче, неверное. То есть такие четверки натуральных чисел существуют. Рассмотрим те из них, для которых минимальна величина Если таковых четверок, для которых эта величина одинакова и минимальна, несколько, то рассмотрим любую из них. Предположим, что эта четверка: a, b, c, d. a² + b² делится на три тогда и только тогда, когда числа a и b кратны трем...

Решим задачу №240: На плоскости заданы n точек. Никакие три из заданных точек не лежат на одной прямой. Необходимо доказать, что существует окружность, проходящая через три из данных точек, но не содержащая внутри ни одной из данных точек. Представьте, что вы провели окружности через каждую тройку точек, получив при этом некоторое количество окружностей. Допустимо, что некоторые окружности могут слиться в одну. Утверждение, которое необходимо доказать, будет верно, если хотя бы одна из этих окружностей не содержит внутри себя ни одной из данных точек...

Решим задачу №239: Пусть n² неотрицательных чисел расположены в виде квадратной таблицы, содержащей n строк и n столбцов. При размещении должно быть выполнено следующее условие: если на некотором месте таблицы записан нуль, то сумма чисел столбца и строки, содержащих такую запись, не менее следующего значения: Докажите, что сумма всех чисел таблицы не менее чем Решение этой задачи почти ничем не отличается от решения задачи №238. Если n – число четное (см. задачу №238), то условиям задачи удовлетворяет таблица, на одной из диагоналей которой стоят числа, равные а на остальных – нули...

Решим задачу №238: На квадратной шахматной доске размером n×n клеток расставлены ладьи (тура, башня). Условие, которому соответствует расстановка: если некоторое поле свободно, то общее количество ладей, стоящих на одной с этим полем горизонтали или на одной с ним вертикали, не менее n. Необходимо доказать, что на доске имеется не менее чем следующее количество ладей: Предложенная задача несколько труднее, чем задачи №235, 236, 237. Тем не менее, если вы внимательно изучили решения вышеуказанных задач, то вполне сможете справиться и с этой...