Принцип Дирихле

Решим задачу №234: В квадрате со стороной 1 произвольно отмечаем 101 точку, причем никакие три точки не лежат на одной прямой. Примечание: часть точек может располагаться и на сторонах квадрата. Вопрос: Существует ли треугольник с вершинами в этих произвольных точках, площадь которого не больше 1/100? Для решения задачи разобьем квадрат на 50 равных прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника, соответственно, равна 1/50. Стороны прямоугольников возьмем произвольно. Например, 0,2 и 0,1. Применив принцип Дирихле, мы можем легко доказать, что в какой-то из этих прямоугольников попадет не менее трех точек из 101 возможной...

Решим задачу №233: У вас есть 200 бананов, которые вы должны раздать 21 обезьянке. Необходимо доказать, что при любом способе раздачи, найдется две обезьянки, которым достанется равное количество бананов. Возможность того, что кому-то бананов может не достаться вовсе, также рассматривается. Решение этой задачи никак не связано с геометрией. Она дана просто для разминки и повторения самого принципа Дирихле. Предположим, что мы применим такой «несправедливый» способ раздачи, при котором каждой последующей...

Перед нами задача №231: В квадрате со стороной 1 м произвольно отметили 51 точку. Вопрос: можно ли какие-то три точки накрыть кругом радиусом 1/7 м? Перед тем, как решать данную задачу, решим аналогичную задачу №232: В квадрате со стороной 1 м произвольно отметили 51 точку. Вопрос: можно ли какие-то три точки накрыть квадратом со стороной 0,2 метра? Очевидно, что мы можем разбить квадрат со стороной 1 метр на 25 равных квадратиков со стороной 0,2 метра. Следовательно, наша задача сводится к необходимости доказать, что в каком-то квадратике находится по крайней мере 3 точки...

Используя принцип Дирихле, решим задачу №230: Правда ли, что если у любого воображаемого дерева оборвать 8/15 его листьев (чисто теоретически), то останется не менее 7/15 тени (по площади), которую давало воображаемое дерево. Дополнительные условия: Для решения этой задачи потребуется сильное воображение. Первоначально расположим мысленно листья по величине отбрасываемой ими тени. Понимаем, что тени частично перекрываются! Действуя таким образом, присвоим листьям номера, начиная от первого листа, которому поставим в соответствие всю его тень, какую отбрасывал бы он, если бы был один на дереве...

Используя принцип Дирихле, решим задачу №229: В доме 123 жильца. Всем жильцам вместе 3813 лет. Можно ли среди всех жильцов дома выбрать сотню, которым вместе будет не меньше 3 100 лет? Расположим жильцов по возрасту и «возьмем» сто самых старших. Возраст самого молодого жильца из «старшей сотни» не меньше, чем возраст тех, кого не включили в список этой «старшей сотни». Предположим, что сумма возрастов отобранной сотни менее 3 100 лет. Тогда возраст самого молодого из них менее Следовательно, возраст каждого из не вошедшего в «сотню старших» тоже меньше 31 года...

Решим две задачи из цикла «задачи на движение». В качестве примера такой задачи и решения к ней можете рассмотреть задачу №96. Пароходы. Первоначально решим задачу Исаака Ньютона[1] (задача №227): Два почтальона A и B, которых разделяет расстояние в 59 миль, выезжают утром навстречу друг другу: A делает за 2 часа 7 миль, а B – за 3 часа 8 миль. При этом B отправляется в путь часом позже A. Требуется найти, сколько миль проедет B до встречи с A? Для решения этой задачи построим график движения каждого почтальона...