Вот и новые неравенства. Разберем примеры и обратим внимание не нюансы, на которых можно проколоться на экзамене.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Тип 1: с умножением скобок
Пример 1
Формулировка. Решите неравенство (4 - x)(x² + x - 20) ≥ 0.
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение (4 - x)(x² + x - 20) = 0. Чтобы произведение было равно нулю, какой-либо из его множителей должен быть равен нулю. Тогда 4 - x = 0 и x² + x - 20 = 0.
Если 4 - x = 0, то x = 4.
Если x² + x - 20 = 0, то D = 81, а x₁,₂ = (- 1 ± 9) : 2, т.е. x₁ = - 5, x₂ = 4.
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точки у всех будут закрашенные, т.к. неравенство нестрогое.
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; - 5]: x = - 6 => (4 - (-6)) · ((-6)² - 6 - 20) = 2 · 10 = 20, т.е. знак "+".
- [- 5; 4]: x = 0 => (4 - 0) · (0² - 0 - 20) = 4 · (- 20) = - 80, т.е. знак "-".
- [4; + ∞]: x = 5 => (4 - 5) · (5² + 5 - 20) = - 1 · 10 = - 10, т.е. знак "-".
Знак неравенства ≥, значит в ответ запишем интервалы со знаком "+". При этом в ответ входит 4, т.к. точка закрашенная.
Ответ: x ∈ (- ∞; - 5] ⋃ {4}.
Пример 2
Формулировка. Решите неравенство (x² + x - 30)(x² + x - 12) ≤ 0.
Заменим знак неравенства на равно получим уравнение (x² + x - 30)(x² + x - 12) = 0. Чтобы произведение было равно нулю, какой-либо из его множителей должен быть равен нулю. Тогда x² + x - 30 = 0 и x² + x - 12 = 0.
Если x² + x - 30 = 0, то D = 121, а x₁,₂ = (- 1 ± 11) : 2, т.е. x₁ = - 6, x₂ = 5.
Если x² + x - 12 = 0, то D = 49, а x₁,₂ = (- 1 ± 7) : 2, т.е. x₁ = - 4, x₂ = 3.
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точки у всех будут закрашенные, т.к. неравенство нестрогое.
Теперь проверим знаки на каждом интервале. Для этого возьмём любое значение с интервала и подставим его в неравенство.
- (- ∞; - 6]: x = - 7 => ((-7)² - 7 - 30) · ((-7)² - 7 - 12) = 12 · 30 = 360, т.е. знак "+".
- [- 6; - 4]: x = - 5 => ((-5)² - 5 - 30) · ((- 5)² - 5 - 12) = - 10 · 8 = - 80, т.е. знак "-".
- [- 4; 3]: x = 0=> (0² + 0 - 30) · (0² + 0 - 12) = - 30 · (- 12) = 360, т.е. знак "+".
- [3; 5]: x = 4 => (4² + 4 - 30) · (4² + 4 - 12) = - 10 · 8 = - 80, т.е. знак "-".
- [5; + ∞]: x = 6 => (6² + 6 - 30) · (6² + 6 - 12) = 12 · 30 = 360, т.е. знак "+".
Знак неравенства ≤, значит в ответ запишем интервалы со знаком "-".
Ответ: x ∈ [-6; -4] ⋃ [3; 5].
Тип 2: с дробью (и дискриминантом)
Пример 1
Формулировка. Решите неравенство (x² - 8x + 12) : (x - 2) ≤ 0.
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение (x² - 8x + 12) : (x - 2) = 0. Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю. Тогда x² - 8x + 12 = 0, D = 16, а x₁,₂ = (8 ± 4) : 2, т.е. x₁ = 6, x₂ = 2.
Учтём, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Тогда x - 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2. По сути, сначала нашли x = 2, потом x ≠ 2. Что делать?
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точка у 6 будет закрашенная, т.к. неравенство нестрогое, точка у 2 будет выколотая, т.к. она является границей интервалов, но сама нулю равна быть не может.
Проверим знаки:
- (- ∞; 2): x = 0 => (0² - 8 · 0 + 12) : (0 - 2) = 12 : (- 2) = - 6, т.е. знак "-".
- (2; 6]: x = 3 => (3² - 8 · 3 + 12) : (3 - 2) = - 3 : 1 = - 3, т.е. знак "-".
- [6; + ∞]: x = 7 => (7² - 8 · 7 + 12) : (7 - 2) = 5 : 5 = 1, т.е. знак "+".
Знак неравенства ≤, значит в ответ запишем интервалы со знаком "-".
Ответ: x ∈ (- ∞; 2) ⋃ (2; 6].
Пример 2
Формулировка. Решите неравенство (x² - 9x + 20) : (x - 4) ≤ 0.
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение (x² - 9x + 20) : (x - 4) = 0. Чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю. Тогда x² - 9x + 20 = 0, D = 1, а x₁,₂ = (9 ± 1) : 2, т.е. x₁ = 4, x₂ = 5.
Учтём, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Тогда x - 4 ≠ 0, т.е. x ≠ 4. По сути, сначала нашли x = 4, потом x ≠ 4. Что делать?
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точка у 5 будет закрашенная, т.к. неравенство нестрогое, точка у 4 будет выколотая, т.к. она является границей интервалов, но сама нулю равна быть не может.
Проверим знаки:
- (- ∞; 4): x = 0 => (0² - 9 · 0 + 20) : (0 - 4) = 20 : (- 4) = - 5, т.е. знак "-".
- (4; 5]: x = 4,5 => (4,5² - 9 · 4,5 + 20) : (4,5 - 4) = - 0,25 : 0,5 = - 0,5, т.е. знак "-".
- [5; + ∞]: x = 6 => (6² - 9 · 6 + 20) : (6 - 4) = 2 : 2 = 1, т.е. знак "+".
Знак неравенства ≤, значит в ответ запишем интервалы со знаком "-".
Ответ: x ∈ (- ∞; 4) ⋃ (4; 5].
Тип 3: с дробью (без дискриминанта)
Пример 1
Формулировка. Решите неравенство x ≤ 25 : x.
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение: x = 25 : x. Отсюда x² = 25, т.е. x₁,₂ = ±5.
Учтём, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Тогда x ≠ 0.
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точки у - 5 и 5 будут закрашенные, т.к. неравенство нестрогое, точка у 0 будет выколотая, т.к. она является границей интервалов, но сама нулю равна быть не может.
Проверим знаки. Подставим в x - 25 : x.
- (- ∞; - 5]: x = - 10 => - 10 - 25 : (- 10) = - 10 + 2,5 = - 7,5, т.е. знак "-".
- [- 5; 0): x = - 1 => - 1 - 25 : (- 1) = - 1 + 25 = 24, т.е. знак "+".
- (0; 5]: x = 1 => 1 - 25 : 1 = 1 - 25 = - 24, т.е. знак "-".
- [5; + ∞]: x = 10 => 10 - 25 : 10 = 10 - 2,5 = 7,5, т.е. знак "+".
Знак неравенства ≤, значит в ответ запишем интервалы со знаком "-".
Ответ: x ∈ (- ∞; - 5] ⋃ (0; 5].
Пример 2
Формулировка. Решите неравенство x² : (x - 4) ≤ x.
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение: x² : (x - 4) = x. Отсюда x² = x · (x - 4), т.е. x² = x² - 4x. Перенесем все в одну часть x² - x² + 4x = 0, т.е. 4x = 0, отсюда x = 0.
Учтём, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Тогда x - 4 ≠ 0, т.е. x ≠ 4.
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точка у 0 будет закрашена, т.к. неравенство нестрогое, а точка у 4 будет выколота, т.к. 4 является границей интервалов, но сам в решение не входит.
Проверим знаки. Подставим в x² : (x - 4) - x.
- (- ∞; 0]: x = - 5 => (- 5)² : (5 - 4) - (- 5) = 25 + 5 = 30, т.е. знак "+".
- [0; 4): x = 1 => 1² : (1 - 4) - 1 = - 1/3 - 1 = - 1 1/3, т.е. знак "-".
- (4; + ∞]: x = 5 => 5² : (5 - 4) - 5 = 25 - 2 = 20 т.е. знак "+".
Знак неравенства ≤, значит в ответ запишем интервалы со знаком "-".
Ответ: x ∈ [0; 4)
Пример 3
Формулировка. Решите неравенство 1 : x ≥ 1 : (x - 5).
Заменим знак неравенства на равно и получим уравнение: 1 : x = 1 : (x - 5). Отсюда x = x - 5. Перенесем все в одну часть x - x + 5 = 0, т.е. 5 = 0. Решений нет.
Учтём, что знаменатель дроби не может быть равен нулю. Тогда x - 5 ≠ 0, т.е. x ≠ 5 и x ≠ 0.
Отметим полученные корни на координатной прямой. Точки у 0 и 5 будут выколотые, т.к. они являются границами интервалов, но сами в решение не входит.
Проверим корни. Подставим в 1 : x - 1 : (x - 5) = 0.
- (- ∞; 0): x = - 5 => 1 : (- 5) - 1 : (- 5 - 5) = - 0,2 + 0,1 = - 0,1, т.е. знак "-".
- (0; 5): x = 1 => 1 : 1 - 1 : (1 - 5) = 1 + 0,25 = 1,25, т.е. знак "+".
- (5; + ∞]: x = 10 => 1 : 10 - 1 : (10 - 5) = 0,1 - 0,2 = - 0,1 т.е. знак "-".
Знак неравенства ≥, значит в ответ запишем интервалы со знаком "+".
Ответ: x ∈ (0; 5).
💡 Лазейки
Лазейка 1: проверь, повторяются корни или нет
Если какой-то корень кратный, т.е. повторяется 2 раза (как в типе 1 примере 1, где два раза x = 4, в типе 2 примере 1, где повторяется 2), то интервалы вокруг этого корня имеют один и тот же знак. По сути, проверив знак на интервале слева от числа, можно автоматически присвоить тот же знак интервалу справа.
Если корни не дублируются (как в типе 1 примере 2), то знаки на интервалах чередуются.
Лазейка 2: проверь, закрашенные точки или нет
Даже если интервалы вокруг точки не входят в решение, но точка при этом закрашенная, то она входит в решение (как в типе 1 примере 2). Если же интервалы вокруг не входят в решение и точка не закрашена, то она в решение не входит (как в типе 2).
Лазейка 3: точки у корней из знаменателя дроби всегда выколотые
Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Его корни - это как раз те точки, в которых он равен нулю. Тогда в решение они не входят и даже если неравенство нестрогое, то их точки все равно выколотые (как в типах 2 и 3).
✅ Самопроверка
Задание 1 (тип 1). Решите неравенство (1 - x)(x² +5 x - 6) ≥ 0.
Ответ: x ∈ (- ∞; - 6] ⋃ {1}.
Обоснование: интервалы вокруг единицы не входят в решение, но т.к. точка закрашенная, то сама единица в решение входит.
Задание 2 (тип 1). Решите неравенство (x² + 2x - 15)(x² - 4x + 3) ≤ 0.
Ответ: x ∈ [-5; 1] ⋃ {3}.
Обоснование: интервалы вокруг 3 не входят в решение, но т.к. точка закрашенная, то сама 3 в решение входит.
Задание 3 (тип 2). Решите неравенство (x² - 7x+ 12) : (x - 3) ≤ 0.
Ответ: x ∈ (- ∞; 3) ⋃ (3; 4].
Задание 4 (тип 2). Решите неравенство (x² - 10x+ 24) : (x - 4) ≤ 0.
Ответ: x ∈ (- ∞; 4) ⋃ (4; 6].
Задание 5 (тип 3). Решите неравенство x ≤ 64 : x.
Ответ: x ∈ (- ∞; - 8] ⋃ (0; 8].
Задание 6 (тип 3). Решите неравенство x² : (x - 6) ≤ x.
Ответ: x ∈ [0; 6)
Задание 7 (тип 3). Решите неравенство 1 : x ≥ 1 : (x - 7).
Ответ: x ∈ (0; 7).
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какое из трёх неравенств показалось самым сложным? Почему?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — закрепление заданий 9 и 13:
👉 Все типы уравнений задания 9 - здесь
👉 Все линейные неравенства и системы задания 13 - здесь
👉 Все квадратные неравенства задания 13 - здесь
👉 3 лазейки в заданиях 9 и 13 - здесь
📌 Хотите ещё уравнений?
👉 Разбор всех уравнений и неравенств задания 20 - здесь.
👉 Разбор всех задач, решаемых с помощью уравнений, задания 21 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.