Всего 7 типов уравнений - и балл за 9 задание уже твой! Поехали!
P.S. Все уравнения взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Разбор
Тип 1: линейное уравнение
Пример 1. Найдите корень уравнения 2 + 3x = - 7x - 5.
Переносим x влево, числа вправо: 3x + 7x = - 5 - 2.
Тогда: 10x = - 7.
Отсюда x = - 0,7.
Ответ: - 0,7
Пример 2. Найдите корень уравнения 7 + 8x = - 2x - 5.
Переносим x влево, числа вправо: 8x + 2x = - 5 - 7.
Тогда: 10x = - 12.
Отсюда x = - 1,2.
Ответ: - 1,2
Тип 2: линейное уравнение со скобкой
Пример 1. Найдите корень уравнения 4(x - 6) = 5.
Раскроем скобку: 4x - 24 = 5.
Перенесем x влево, числа вправо: 4x = 5 + 24.
Отсюда: 4x = 29.
Значит x = 29 : 4 = 7,25.
Ответ: 7,25
Пример 2. Найдите корень уравнения 5(x + 4) = - 9.
В левой части уравнения произведение, x включен в один из множителей.
Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: x + 4 = - 9 : 5.
Отсюда: x + 4 = - 1,8.
Значит x = 1,8 - 4 = - 5,8.
Ответ: - 5,8
Тип 3: линейное уравнение со скобкой (новое)
По сути, решается как и предыдущий тип, только чуть больше чисел.
Пример 1. Найдите корень уравнения 2(x - 9) - x = 9.
Раскроем скобку: 2x - 18 - x = 9.
Тогда: x = 9 + 18.
Значит x = 27.
Ответ: 27
Пример 2. Найдите корень уравнения 2(x - 3) = x + 3.
Раскроем скобку: 2x - 6 = x + 3.
Перенесем x влево, числа вправо: 2x - x = 3 + 6.
Значит x = 9.
Ответ: 9
Тип 4: линейное уравнение со скобками (новое)
Также решается как и предыдущий тип, только чуть больше чисел.
Пример 1. Найдите корень уравнения 3(x + 11) - 2(x - 11) = 11.
Раскроем скобки: 3x + 33 - 2x + 22 = 11.
Перенесем х влево, числа вправо: 3x - 2x = 11 - 33 - 22.
Отсюда: x = - 44.
Ответ: - 44
Пример 2. Найдите корень уравнения 3(x + 10) - 2(x - 10) = 10.
Раскроем скобки: 3x + 30 - 2x + 20 = 10.
Перенесем х влево, числа вправо: 3x - 2x = 10 - 30 - 20.
Отсюда x = - 40.
Ответ: - 40
Тип 5: полное квадратное уравнение
Пример 1 (дискриминант). Решите уравнение x² - 6x + 5 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 6, c = 5. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 6)² - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16. Следовательно, √D = 4.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (6 + 4) / 2 = 10 / 2 = 5.
x = (-b - √D) / 2a = (6 - 4) / 2 = 2 / 2 = 1.
В ответ запишем больший корень.
Ответ: 5
Пример 2 (дискриминант). Решите уравнение x² - 11x + 18 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 11, c = 18. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 11)² - 4 · 1 · 18 = 121 - 72 = 49. Следовательно, √D = 7.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (11 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9.
x = (-b - √D) / 2a = (11 - 7) / 2 = 4 / 2 = 2.
В ответ запишем больший корень.
Ответ: 9
Тип 6: неполное квадратное уравнение (b = 0)
Пример 1 (дискриминант). Решите уравнение x² - 9 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = 0, c = - 9. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (0)² - 4 · 1 · (- 9) = 0 + 36 = 36. Следовательно, √D = 6.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (0 + 6) / 2 = 6 / 2 = 3.
x = (-b - √D) / 2a = (0 - 6) / 2 = 6 / 2 = - 3.
В ответ запишем больший корень.
Ответ: 3
Пример 2 (корень). Решите уравнение x² - 16 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Оставим x² влево, 16 перенесем вправо: x² = 16.
Возьмём корень от каждой части уравнения: x = √16 = ± 4.
В ответ запишем меньший корень.
Ответ: - 4
Тип 7: неполное квадратное уравнение (с = 0)
Пример 1 (дискриминант). Решите уравнение 9x² = 54x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Перенесем всё в одну часть: 9x² - 54x = 0.
Разделим уравнение на 9: x² - 6x = 0.
Выделим коэффициенты: a = 1, b = - 6, c = 0. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = (- 6)² - 4 · 1 · 0 = 36. Следовательно, √D = 6.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (6 + 6) / 2 = 12 / 2 = 6.
x = (-b - √D) / 2a = (6 - 6) / 2 = 0 / 2 = 0.
В ответ запишем больший корень.
Ответ: 6
Пример 2 (вынесение за скобки). Решите уравнение 4x² = 20x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Перенесем всё в одну часть: 4x² - 20x = 0.
Разделим уравнение на 4: x² - 5x = 0.
Вынесем x за скобки: x(x - 5) = 0.
Левая часть уравнения представляет собой произведение. Чтобы оно было равно нулю, либо первые множитель должен быть равен нулю (x = 0), либо второй (x - 5 = 0 => x = 5).
В ответ запишем больший корень.
Ответ: 5
⚠️ Самые частые ошибки
Ошибка 1: путаница со знаками при переносе
Суть. При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую забывают поменять знак.
Как избежать? Переносишь через равно — меняй знак на противоположный. В конце - делай подстановку, чтобы проверить ответ (о подстановке подробнее в пятницу).
Встречается: типы 1, 2, 3, 4.
Ошибка 2: потеря корня в уравнении x² = a
Суть. Решая x² = 16, пишут x = 4, забывая про x = -4.
Как избежать? Всегда помни: x² = a → x = ±√a.
Встречается: тип 6.
Ошибка 3: деление на x в уравнении с x²
Суть. В уравнении x² = 5x делят на x и теряют корень x = 0.
Как избежать? Не делить на x, а переносить всё в одну часть и выносить x за скобки, либо решать через дискриминант. На x делить ни в коем случае нельзя!
Встречается: тип 7.
✅ Самопроверка
Задание 1. Найдите корень уравнения - 1 - 3x = 2x + 1.
Задание 2. Найдите корень уравнения 4(x - 8) = - 5.
Задание 3. Найдите корень уравнения 2(x - 4) - x = 4.
Задание 4. Найдите корень уравнения 3(x + 2) - 2(x - 2) = 2.
Задание 5. Решите уравнение x² - 12x + 20 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Задание 6. Решите уравнение x² - 121 = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Задание 7. Решите уравнение 7x² - 42x = 0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Ответы: 1) - 0,4; 2) 6,75; 3) 12; 4) - 8; 5) 2; 6) - 11; 7) 6.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Каким способом решения неполных квадратных уравнений вы пользуйтесь чаще?
- Сколько заданий из «Самопроверки» выполнили верно?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — разбор задания 13:
👉 Все линейные неравенства и системы задания 13 - [выйдет во вторник]
👉 Все квадратные неравенства задания 13 - [выйдет в среду]
👉 Лазейки для заданий 9 и 13 (как точно проверить ответ) - [выйдет в четверг]
📌 Хотите ещё уравнений?
👉 Разбор всех уравнений и неравенств задания 20 - здесь.
👉 Разбор всех задач, решаемых с помощью уравнений, задания 21 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.