С линейными неравенствами и системами разобрались. А что с квадратными? Их всего 4 типа!
P.S. Все неравенства взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Теория
Для решения квадратного неравенства нужно:
- Заменить знак неравенства на "=" и решить полученное уравнение, чтобы найти значения, которые отметим на координатной прямой - это те числа, при подстановке которых неравенство не решается, они являются границами интервалов.
- Отметить значения на координатной прямой и проверить знаки на каждом из полученных интервалов, например, с помощью подстановки.
- Записать в ответ те интервалы, которые соответствуют знаку неравенства.
Разбор
Тип 1: неполное неравенство (с = 0)
Пример. Укажите решение неравенства 8x - x² < 0.
Заменим знак неравенства на "=": 8x - x² = 0.
Выделим коэффициенты: a = - 1, b = 8, c = 0. Затем найдём дискриминант: D = b² - 4ac = 8² - 4 · ( - 1) · 0 = 64. Следовательно, √D = 8.
Найдём корни уравнения:
x = (-b + √D) / 2a = (- 8 + 8) / - 2 = 0 / - 2 = 0.
x = (-b - √D) / 2a = (- 8 - 8) / - 2 = - 16 / - 2 = 8.
Отметим полученные значения на координатной прямой и проверим интервалы с помощью подстановки.
Из крайнего левого возьмём x = - 1 и подставим в уравнение: 8 · (- 1) - (- 1)² = - 8 - 1= - 9 - отрицательное число, значит, присвоим интервалу знак "-".
Из среднего интервала возьмём x = 4 и подставим: 8 · 4 - 4² = 32 - 16 = 16 - положительное число, значит "+".
Из крайнего правого интервала возьмём x = 9, тогда 8 · 9 - 9² = 72 - 81 = - 9 - знак "-".
Вернёмся к неравенству. Его знак "<", значит в ответ нужно брать интервалы со знаком "-". Это крайние. Они соответствуют варианту ответа под номером 3.
Ответ: 3
Тип 2: неполное неравенство (b = 0)
Пример. Укажите решение неравенства x² < 9.
Приравниваем обе части: x² = 9. Решаем либо через дискриминант, либо извлечением корня, в итоге x = 3, x = -3.
Отмечаем значения на координатной прямой.
Для удобства преобразуем уравнение в x² - 9 = 0.
Из крайнего левого возьмём x = - 4 и подставим в уравнение: (- 4)² - 9 = 16 - 9 = 7 - знак "+".
Из среднего интервала возьмём x = 0 и подставим в уравнение: (0)² - 9 = - 9 - знак "-".
Из крайнего правого интервала возьмём x = 4 и подставим в уравнение: 4² - 9 = 16 - 9 = 7 - знак "+".
Вернёмся к неравенству. Его знак "<", значит в ответ нужно брать интервалы со знаком "-". Это средний. Он соответствует варианту ответа под номером 1.
Ответ: 1
Тип 3: полное неравенство
Пример. Укажите решение неравенства (x + 3)(x - 6) > 0.
Заменим знак неравенства на равно: (x + 3)(x - 6) = 0.
Левая часть уравнения - это произведение. Чтобы оно было равно нулю, либо первый множитель должен быть равен нулю (x + 3 = 0 => x = -3), либо второй множитель должен быть равен нулю (x - 6 = 0 => x = 6).
Отмечаем значения на координатной прямой.
Из крайнего левого возьмём x = - 4 и подставим в уравнение: (- 4 + 3)(- 4 - 6) = - 1 · (- 10) = 10 - знак "+".
Из среднего интервала возьмём x = 0 и подставим в уравнение: (0 + 3)(0 - 6) = 3 · (- 6) = - 18 - знак "-".
Из крайнего правого интервала возьмём x = 7 и подставим в уравнение: (7 + 3)(7 - 6) = 10 · 1 = 10 - знак "+".
Вернёмся к неравенству. Его знак ">", значит в ответ нужно брать интервалы со знаком "+". Это крайние. Они соответствуют варианту ответа под номером 3.
Ответ: 3
Тип 4: выбор неравенства
Пример. Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Можно заметить, что неравенства 1 и 4 и неравенства 2 и 3 отличаются только знаками, т.е. не придётся решать 4 разных неравенства.
Заменим их знаки на равно:
- x² - 16 = 0 => x = 4, x = -4.
- x² - 4x = 0 => x = 0, x = 4.
Неравенства 1 и 4 не подходят из-за значений на координатной прямой. Должно быть 0 и 4, что соответствует либо неравенству 2, либо неравенству 3.
Проверим интервалы.
Из крайнего левого возьмём x = - 1 и подставим в уравнение: (- 1)² - 4 · (- 1) = 1 + 4 = 5 - знак "+".
Из среднего интервала возьмём x = 2 и подставим в уравнение: 2² - 4 · 2 = 4 - 8 = - 4 - знак "-".
Из крайнего правого интервала возьмём x = 5 и подставим в уравнение: 5² - 4 · 5 = 25 - 20 = 5 - знак "+".
В представленном ответе неравенства заштрихованы крайние интервалы. Судя по проверке, они имеют знак "+". Тогда знак неравенства - ">". Неравенство с такими корнями и таким знаком соответствует номеру 3.
Ответ: 3.
⚠️ Самая частая ошибка
Ошибка: неправильно определяют знаки на интервалах
Суть. Путают, где ставить плюс, а где минус.
Как избежать? Всегда бери пробную точку из каждого интервала и подставляй в исходное неравенство. Если сомневаешься - возьми ещё одну точку. Знаки в каждом интервале должны совпадать.
✅ Самопроверка
Задание 1. Укажите решение неравенства 6x - x² ≥ 0.
Задание 2. Укажите решение неравенства x² > 36.
Пример 3. Укажите решение неравенства (x + 9)(x - 4) < 0.
Пример 4. Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.
Ответы: 1)3; 2)1; 3)1; 4)4.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип показался самым сложным?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
📌 Дальше — разбор задания 13:
👉 Все типы уравнений задания 9 - здесь
👉 Все линейные неравенства и системы задания 13 - здесь
📌 Хотите ещё уравнений?
👉 Разбор всех уравнений и неравенств задания 20 - здесь.
👉 Разбор всех задач, решаемых с помощью уравнений, задания 21 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.