Вроде бы простое условие — а решение не идёт? Разберемся!
Ошибка 1: медиана равна половине стороны — и что?
Пример. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A , если ∠C = 37°, BM = AM = MC.
Есть два равнобедренных треугольника — CBM и ABM, у них углы при основаниях равны. Тогда знаем, что ∠С = ∠CBM = 37°. И всё. Больше ничего найти не можем.
В чём ловушка? В том, что задача решается с помощью теоремы, о которой мало кто помнит. Она гласит, что если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то это сторона является гипотенузой, а треугольник — прямоугольным. Также есть ещё один способ решения задачи: мы начали верно, но упустили один важный нюанс.
Как избежать? Запомнить теорему — с ней задача решается в два шага. Либо вспомнить про смежные углы. Сейчас покажу подробнее.
Способ 1. Если BM = AM = CM = AC : 2, тогда треугольник ABC прямоугольный, а ∠B = 90°. В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 37°, а на ∠A остаётся 180° - 90° - 37° = 53°.
Способ 2. BM = CM => CBM равнобедренный треугольник => ∠C = ∠CBM = 37°. Тогда можем найти третий угол в этом треугольнике, то есть ∠CMB = 180° - 37° - 37° = 106°.
Углы AMB и CMB смежные, значит их сумма 180°. Тогда ∠AMB = 180° - ∠CMB = 180° - 106° = 74°.
BM = AM => ABM равнобедренный треугольник. В нем угол AMB составляет 74°. Тогда на остальные два угла (∠A и ∠ABM) остается 180° - 74° = 106°. Эти два угла при основании => они равны друг другу => ∠A = ∠ABM = 106° : 2 = 53°.
Верный ответ: 53°.
Ошибка 2: какие свойства равнобедренного треугольника?
Пример. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 100°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
Знаем в треугольнике один угол. Все. Дальше никак.
В чём ловушка? В том, что в задаче не просто треугольник, а равнобедренный треугольник. О нём и о его свойствах часто забывают.
Как избежать? Запомнить, что если у треугольника две стороны равны, то он равнобедренный, значит у него и углы при основании равны.
Значит AB = BC => ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, тогда ∠A = ∠C. Сумма углов треугольника 180°. Тогда ∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 100° = 80°, т.е. сумма двух равных углов равна 80°, тогда каждый из них равен 80° : 2 = 40°.
Верный ответ: 40°.
Пример. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK . Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 33° и AK = CK.
Так, биссектриса делит угол пополам, то есть имеем два равных угла ∠KAC = ∠KAB = 33°. И всё.
Если же учесть, что AK = CK, то треугольник ACK становится равнобедренным, а это значит, что углы при его основании равны, то есть ∠KAC = ∠КСА = 33°. Тогда ∠A = ∠KAC + ∠KAB = 33° + 33° = 66°.
В треугольнике ABC ∠A = 66°, ∠C = 33°, а на ∠B остаётся 180° - 66° - 33° = 81°.
Верный ответ: 81°.
Ошибка 3: вижу большой треугольник — работаю только с ним!
Пример. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 47°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Если ВН — высота, то она образует прямой угол, то есть ∠AHB = 90°, но она не делит угол В пополам. А больше ничего не надо. Тупик.
В чём ловушка? Рассматриваем только большой треугольник ABC, но на треугольники, на которые его поделила высота, не обращаем внимания.
Как избежать? Работать со всеми фигурами на чертеже. Особенно с теми, в которых что-то известно.
Рассмотрим треугольник ABH. В нём ∠AHB = 90 °, ∠BAH = 47°, а на ∠ABH остаётся 180° - 90° - 47° = 43°.
Верный ответ: 43°.
Итог
Главное в этом задании —это знание теории и умение её применять. Если кажется, что теория не усвоена — здесь полный разбор первых 16 типов задания 15.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
С какой из этих трёх ошибок вы сталкивались на практике?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — разбор 2 части задания 15.
👉 Разбор 2 части - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок 2 части - здесь.
👉 Тренажёр по всем типам - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.