Боишься 15 задания? Зря. 30 минут — и половина задач усвоена. Попробуй!
Углы: теория
Теорема о сумме углов треугольника. В любом треугольнике сумма углов 180°.
Логично, что сумма углов прямоугольного треугольника также 180°, однако можно пойти дальше. Один из углов прямоугольного треугольника, как ни странно, прямой, то есть 90°. Тогда на остальные два острых угла приходится 180° - 90° = 90°. Следовательно, сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Также стоит уточнить, что в треугольнике существуют как внутренние углы , так и внешние. Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
Углы: задачи
Тип 1. В треугольнике два угла равны 54° и 58°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
Чтобы найти третий угол, нужно вычесть два известных угла из 180°. Тогда искомый угол равен 180° - 54° - 58° = 68°.
Ответ: 68°.
Тип 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 23°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Один из них 23°, тогда второй 90° - 23° = 67°. Либо иначе. В треугольнике известны углы 90° и 23°, тогда на третий угол остается 180° - 90° - 23° = 67°.
Ответ: 67°.
Тип 3. В треугольнике ABC угол C равен 159°. Найдите внешний угол при вершине C. Ответ дайте в градусах.
Внешний угол при вершине С равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть сумме углов А и В. Сумма углов треугольника 180°, угол С = 159°, отсюда на сумму углов А и В остается 180° - 159° = 21°.
Ответ: 21°.
Равносторонний треугольник: теория
В равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают, т.е. по сути являются одним отрезком, который делит угол пополам, противоположную сторону пополам и образует прямой угол.
Являясь по сути одним отрезком, они вычисляются по следующей формуле (она есть в справочных материалах): h = a√3 : 2, где h - медиана, биссектриса и высота, a - сторона треугольника.
Равносторонний треугольник: задачи
Тип 4. Медиана равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите сторону этого треугольника.
Тип 5. Биссектриса равностороннего треугольника равна 15√3. Найдите сторону этого треугольника.
Тип 6. Высота равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите сторону этого треугольника.
Задачи три, а решение одно.
Подставляем значение в формулу и получаем:
4. h = a√3 : 2 => 9√3 = a√3 : 2. Делим на √3, тогда: 9 = a : 2. Отсюда a = 2 · 9 = 18.
5. h = a√3 : 2 => 15√3 = a√3 : 2. Делим на √3, тогда: 15 = a : 2. Отсюда a = 2 · 15 = 30.
6. h = a√3 : 2 => 12√3 = a√3 : 2. Делим на √3, тогда: 12 = a : 2. Отсюда a = 2 · 12 = 24.
Ответы: 18; 30; 24.
Прямоугольный треугольник: теория
Самая известная теорема, связанная с эти треугольником — это, конечно, теорема Пифагора. Она гласит: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Записывается следующим образом: c² = a² + b², где a и b - катеты, c - гипотенуза.
Ещё одна теорема связывает прямоугольный треугольник и описанную вокруг него окружность. Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы.
Прямоугольный треугольник: задачи
Тип 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 60 и 80. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Подставляем: с² = a² + b² => c² = 60² + 80². Отсюда c² = 3600 + 6400 = 10000. Тогда c = √10000 = 100.
Ответ: 100.
Тип 8. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
Подставляем: с² = a² + b² => 50² = 40² + b². Отсюда b² = 50² - 40² = 2500 - 1600 = 900. Тогда b = √900 = 30.
Ответ: 30.
Тип 9. В треугольнике ABC известно, что AC = 16, BC = 12, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Тогда найдём гипотенузу.
Подставляем: с² = a² + b² => c² = 16² + 12². Отсюда c² = 256 + 144 = 400. Тогда c = √400 = 20, а R = 20 : 2 = 10.
Ответ: 10.
Равнобедренный треугольник: теория
Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны, а также при основании равны.
Равнобедренный треугольник: задачи
Тип 10. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, ∠ABC = 108°. Найдите угол BCA. Ответ дайте в градусах.
AB = BC => ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, тогда ∠A = ∠C.
Сумма углов треугольника 180°. Тогда ∠A + ∠C = 180° - ∠B = 180° - 108° = 72°, т.е. сумма двух равных углов равна 72°, тогда каждый из них равен 72° : 2 = 36°.
Ответ: 36°.
Отрезки в треугольнике: теория
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.
Биссектриса — это отрезок, который соединяет вершину угла треугольника с противоположной стороной, и делит этот угол пополам.
Медиана — это отрезок, который соединяет вершину угла треугольника с противоположной стороной, и делит эту сторону пополам. Также существует теорема: Если медиана равна половине стороны, к которой проведена, то это сторона является гипотенузой, а треугольник — прямоугольным.
Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
Отрезки в треугольнике: задачи
Тип 11. Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC, сторона AB равна 28, сторона BC равна 19, сторона AC равна 34. Найдите MN.
Сказано, что M — середина AB, а N — середина BC. Тогда MN является средней линией. Раз она пересекает AB и BC, то тогда она параллельна AC и равна её половине. Отсюда MN = AC : 2 = 34 : 2 = 17.
Ответ: 17.
Тип 12. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 46°, AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.
Если AD — биссектриса, то она делит угол BAC пополам. то есть на два равных угла BAD и CAD. Тогда ∠CAD = ∠BAD = ∠BAС : 2 = 46° : 2 = 23°.
Ответ: 23°.
Тип 13. В треугольнике ABC известно, что AC = 54, BM — медиана, BM = 43. Найдите AM.
Если BM — медиана, то она делит сторону AC пополам, то есть AM = MC. Если вся сторона AC = 54, то AM = MC = AC : 2 = 54 : 2 = 27.
Ответ: 27.
Тип 14. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK . Найдите градусную меру угла B, если ∠C = 25° и AK = CK.
Если AK = CK, то треугольник ACK равнобедренный, значит углы при его основании равны, то есть ∠KAC = ∠КСА = 25°. AK - биссектриса, следовательно, ∠KAC = ∠KAB = 25°, а ∠A = ∠KAC + ∠KAB = 25° + 25° = 50°.
Тогда в треугольнике ABC ∠A = 50°, ∠C = 25°, а на ∠B остаётся 180° - 50° - 25° = 105°.
Ответ: 105°.
Тип 15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A , если ∠C = 57°, BM = AM = MC.
Способ 1. BM = CM = AM = AC : 2, то есть медиана равна половине отрезка к которому проведена, значит AС — гипотенуза, а ABC — прямоугольный треугольник, тогда ∠B = 90°.
В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 57°, а на ∠A остаётся 180° - 90° - 57° = 33°.
Способ 2. BM = CM => CBM равнобедренный треугольник => ∠C = ∠CBM = 57°. Тогда в этом треугольнике известны два угла. Чтобы найти третий (∠СMB), нужно вычесть их из 180°. Тогда ∠CMB = 180° - 57° - 57° = 66°.
Углы AMB и CMB смежные, значит их сумма 180°. Тогда ∠AMB = 180° - ∠CMB = 180° - 66° = 114°.
BM = AM => ABM равнобедренный треугольник. В нем угол AMB, лежащий против основания, составляет 114°. Тогда на остальные два угла (∠A и ∠ABM) остается 180° - 114° = 66°. Эти два угла при основании => они равны друг другу => ∠A = ∠ABM = 66° : 2 = 33°.
Таким образом, эту задачу можно решить без теоремы про медиану в прямоугольном треугольнике, это займёт больше времени, однако подойдёт тем, кто, например, не помнит о теореме про медиану.
Ответ: 33°.
Тип 16. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH, ∠BAC = 37°. Найдите угол ABH. Ответ дайте в градусах.
Если ВН — высота, то она образует прямой угол, то есть ∠AHB = 90°.
Тогда в треугольнике ABH ∠AHB = 90 °, ∠BAH = 37°, а на ∠ABH остаётся 180° - 90° - 37° = 53°.
Ответ: 53°.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип (1-16) оказался самым сложным?
- Какая тема (отрезки в треугольнике, углы, прямоугольный треугольник) вызывает больше вопросов?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 15.
👉 Разбор самых частых ошибок 1 части - здесь.
👉 Разбор 2 части - [выйдет в четверг, 5 марта].
👉 Разбор самых частых ошибок 2 части - [выйдет в пятницу, 6 марта].
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу, 7 марта].
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.