15 задание — это бесконечное множество задач, верно? Нет! Первая часть их 16 типов уже разобрана здесь. Сейчас — вторая.
Равносторонний треугольник: теория
Как говорилось в первой части разбора, в равностороннем треугольнике медиана, биссектриса и высота совпадают и их длина вычисляется по формуле: h = a√3 : 2, где h ― медиана, биссектриса и высота, а ― сторона треугольника.
Равносторонний треугольник: задачи
Тип 17. Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите биссектрису этого треугольника.
Тип 18. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.
Тип 19. Сторона равностороннего треугольника равна 16√3. Найдите медиану этого треугольника.
Подставляем в формулу:
17. h = a√3 : 2 => h = 12√3 · √3 : 2 = 12 · 3 : 2 = 36 : 2 = 18.
18. h = a√3 : 2 => h = 14√3 · √3 : 2 = 14 · 3 : 2 = 42 : 2 = 21.
19. h = a√3 : 2 => h = 16√3 · √3 : 2 = 16 · 3 : 2 = 48 : 2 = 24.
Ответы: 18; 21; 24.
Теорема синусов: теория
Теорема синусов звучит следующим образом: сторона треугольника относится к синусу противолежащего угла как два радиуса описанной окружности. Записывается так:
Здесь a, b и с ― стороны треугольник, ∠A, ∠B и ∠C ― углы треугольника, R ― радиус описанной окружности.
Теорема синусов: задачи
Тип 20. В треугольнике ABC угол C равен 30°, AB=16. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Согласно теореме синусов, AB : sin∠C = 2R.
Подставим: 16 : ½ = 2R = > 32 = 2R => R = 16.
Ответ: 16.
Радиусы окружностей в равностороннем треугольнике: теория
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности можно вычислить по следующей формуле: r = a√3 : 6, где r – радиус вписанной окружности, a – сторона треугольника.
Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности можно вычислить по следующей формуле: R = a√3 : 3, где R – радиус описанной окружности, a – сторона треугольника.
К слову, обе эти формулы есть в справочных материалах к экзамену.
Радиусы окружностей в равностороннем треугольнике: задачи
Тип 21. Сторона равностороннего треугольника равна 18√3. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Тип 22. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 5√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Эти задачи обратные. Решим их, подставив значения в формулу.
21. R = a√3 : 3 => R = 18√3 · √3 : 3 => R = 18 · 3 : 3 => R = 18.
22. R = a√3 : 3 => 5√3 = a√3 : 3 => 5 = a : 3 => a = 5 · 3 = 15.
Ответы: 18; 15.
Тип 23. Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Тип 24. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 8√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Эти задачи обратные. Решим их, подставив значения в формулу.
23. r = a√3 : 6 => r = 12√3 · √3 : 6 => r = 12 · 3 : 6 => r = 6.
24. r = a√3 : 6 => 8√3 = a√3 : 6 => 8 = a : 6 => a = 8 · 6 = 48.
Ответы: 6; 48.
Тригонометрия: теория
Синус острого угла прямоугольного треугольника ― это отношение противолежащего углу катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника ― это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника ― это отношение противолежащего углу катета к прилежащему.
В этом треугольнике sinB = AC : AB, cosB = CB : AB, tgB = AC : CB.
Тригонометрия: задачи
Тип 25. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, AB = 20. Найдите sinB.
Выразим синус угла В: sinB = AC : AB.
Подставим известные значения: sinB = 6 : 20 = 3 : 10 = 0,3.
Ответ: 0,3.
Тип 26. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinB= 3/7, AB = 21. Найдите AC.
Выразим синус угла В: sinB = AC : AB.
Подставим известные значения: 3/7 = AC : 21 => AC = 21 · 3/7 = 3 · 3 = 9.
Ответ: 9.
Тип 27. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 16, AB = 25. Найдите cosB.
Выразим косинус угла В: cosB = CB : AB.
Подставим известные значения: cosB = 16 : 25 = 0,64.
Ответ: 0,64.
Тип 28. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB= 5/6, AB = 18. Найдите BC.
Выразим косинус угла В: cosB = CB : AB.
Подставим известные значения: 5/6 = CB : 18 => CB = 18 · 5/6 = 3 · 5 = 15.
Ответ: 15.
Тип 29. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 9, AC = 27. Найдите tgB.
Выразим тангенс угла В: tgB = AC : CB.
Подставим известные значения: tgB = 27 : 9 = 3.
Ответ: 3.
Тип 30. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB= 8/5, BC = 20. Найдите AC.
Выразим тангенс угла В: tgB = AC : CB.
Подставим известные значения: 8/5 = AC : 20 => AC = 20 · 8/5 = 4 · 8 = 32.
Ответ: 32.
Площади треугольников: теория
Для того, чтобы вычислить площадь треугольника, существует несколько формул.
Площадь произвольного треугольника можно найти как половину произведения высоты и стороны, к которой эта высота проведена, т.е. S = a · h : 2, где S ― площадь произвольного треугольника, а ― его сторона, h ― высота, проведенная к стороне а.
Площадь произвольного треугольника можно найти как половину произведения двух его сторон на синус угла между ними, т.е. S = a · b · sina : 2, где S ― площадь произвольного треугольника, а и b ― его стороны, sina ― синус угла между сторонами а и b.
Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение его полупериметра на радиус вписанной в него окружности, т.е. S = p · r, где S ― площадь произвольного треугольника, p ― его полупериметр, r ― радиус вписанной в него окружности.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов, т.е. S = a · b : 2, где S ― площадь прямоугольного треугольника, a и b ― его катеты.
Площади треугольников: задачи
Тип 31. Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как половину произведения стороны на высоту, т.е. S = 12 · 33 : 2 = 6 · 33 = 198.
Ответ: 198.
Тип 32. В треугольнике ABC известно, что AB = 12, BC = 10, sin∠ABC = 8/15. Найдите площадь треугольника ABC.
Площадь можно найти как половину произведения сторон на синус угла между ними, т.е. S = 10 · 12 · 8/15 : 2 = 120 · 8/15 : 2 = 60 · 8/15 = 4 · 8 = 32.
Ответ: 32.
Тип 33. Периметр треугольника равен 50, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как произведения его полупериметра на радиус вписанной окружности, т.е. S = 25 · 4 = 100.
Ответ: 100.
Тип 34. Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как половину произведения катетов, т.е. S = 7 · 18 : 2 = 7 · 9 = 63.
Ответ: 63.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Какой тип (17-34) оказался самым сложным?
- Какая тема (радиусы, тригонометрия или площади) вызывает больше вопросов?
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — продолжение разбора задания 15.
👉 Разбор 1 части заданий - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок 1 части - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок 2 части - здесь.
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу, 7 марта].
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.