Всё посчитал — а ответ неверный? Разберемся!
Ошибка 1: не те отрезки в тригонометрии
Пример. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, AB = 20. Найдите sinB.
Синус — это отношение отрезков. Тогда sinB = AB : AC = 20 : 4 = 5.
А вот и нет!
В чём ловушка? Отношение отрезков найдено, да, но не то. Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Тогда sinB = AC : AB = 4 : 20 = 0,5.
Верный ответ: 0,5.
Как избежать? Во-первых, запомните определение трёх тригонометрических функций: синуса, косинуса и тангенса. Во-вторых, можете проверить себя с помощью правила:
🔥 Синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1.
Тогда sin = 5 в принципе не может существовать, а вот sin = 0,5 может!
Пример. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB= 5/6, AB = 30. Найдите BC.
Косинус — это отношение отрезков. Тогда cosB = AB : BC. Подставим: 5/6 = 30 : BC. Отсюда BC = 30 : 5/6 = 30 · 6/5 = 6 · 6 = 36.
А вот и нет!
В чём ловушка? Отношение отрезков найдено, да, но не то. Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тогда cosB = BC : AB => 5/6 = BC : 30 => BC = 30 · 5/6 = 5 · 5 = 25.
Верный ответ: 25.
Как избежать? , Как уже было сказано, нужно запомнить определения, а также можно себя проверить.
🔥 Проверка. Подставим найденное значение в косинус: cosB = BC : AB = 25 : 30 = 5/6. Да, верно! Получивший косинус и данный в задаче косинус сошлись, значит отрезок найден верно. Если бы BС был равен 36, то cosB = 36 : 30 = 6/5. Не сходится, значит ответ неверный!
Ошибка 2: площадь треугольника без "пополам"
Пример. Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 6. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как произведение стороны на высоту, т.е. S = 8 · 6 = 48.
А вот и нет!
В чём ловушка? Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту. Именно о половине все и забывают.
То есть нужно всего лишь 48 поделить ещё пополам.
Верный ответ: 24.
Пример. В треугольнике ABC известно, что AB = 6, BC = 4, sin∠ABC = 1/3. Найдите площадь треугольника ABC.
Площадь можно найти как произведение сторон на синус угла между ними, т.е. S = 6 · 4 · 1/3 = 8. Стоп! Не как произведение, а как половину произведения. Делим пополам.
Верный ответ: 4.
Пример. Периметр треугольника равен 14, одна из сторон равна 20, а радиус вписанной в него окружности равен 6. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на периметр, т.е. S = 6 · 14= 84. Стоп! Не в формуле не периметр, а полупериметр.
Тогда S = 6 · 14 : 2 = 42.
Верный ответ: 42.
Пример. Два катета прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
Площадь можно найти как произведение катетов, т.е. S = 5 · 12 = 60. Стоп! Не как произведение, а как половину произведения. Делим пополам.
Верный ответ: 30.
Как избежать? Во-первых, запомнить формулы. Однако есть кое-что в помощь!
🔥 Справочные материалы. В них есть две из четырёх нужных формул — через высоту и через синус угла между сторонами.
Ошибка 3: не тот радиус
Пример. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 4√3. Найдите длину стороны этого треугольника.
Берем формулу радиуса r = a√3 : 6 и подставляем: 4√3 = а√3 : 6 => 4 = a : 6. Отсюда а = 6 · 4 = 24.
А вот и нет!
В чём ловушка? Формула не та! Взяли формулу радиуса вписанной окружности через сторону, а нужно было брать формулу радиуса описанной окружности.
Тогда R = a√3 : 3 и подставляем: 4√3 = а√3 : 3 => 4 = a : 3. Отсюда а = 3 · 4 = 12.
Верный ответ: 12.
Как избежать?
🔥 Справочные материалы. В них есть и формула радиуса вписанной, и формула радиуса описанной окружности.
🔥 Проверка. Подставим найденное значение в формулу: R = a√3 : 3 = 12√3 : 3 = 4√3. Да, верно! Получивший радиус и данный в задаче радиус сошлись, значит сторона найдена верно. Если бы сторона была равна 24, то R = a√3 : 3 = 24√3 : 3 = 8√3. Не сходится, значит ответ неверный!
Пример. Сторона равностороннего треугольника равна 12√3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Берем формулу радиуса R = a√3 : 3 и подставляем: R = 12√3 · √3 : 3 =12 · 3 : 3 = 12.
А вот и нет!
В чём ловушка? Формула не та! Взяли формулу радиуса описанной окружности, а нужно было найти радиус вписанной окружности.
Тогда r = a√3 : 6 и подставляем: r = а√3 : 6 = 12√3 · √3 : 6 = 12 · 3 : 6 = 6.
Верный ответ: 6.
Как избежать?
🔥 Справочные материалы. В них есть и формула радиуса вписанной, и формула радиуса описанной окружности.
🔥 Проверка. Подставим найденное значение в формулу:
r = a√3 : 6 => 6 = a√3 : 6 => a√3 = 6 · 6 => a = 36 : √3 = 12 · 3 : √3 = 12√3 · √3 : √3 = 12√3. Да, верно! Получившаяся сторона и данная в задаче сторона сошлись, значит радиус найден верно.
Если бы радиус был равен 12, то:
r = a√3 : 6 => 12 = a√3 : 6 => a√3 = 12 · 6 => a = 72 : √3 = 24 · 3 : √3 = 24√3 · √3 : √3 = 24√3. Не сходится, значит ответ неверный!
Итог
Для решения главное —это знание теории и умение её применять. Если не вся теория ясна — здесь полный разбор 18 типов задания 15.
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
С какой из этих трёх ошибок вы сталкивались на практике?
Это займёт 10 секунд, а я смогу подстроить тренажёр именно под ваши ошибки.
✅ Самое надёжное — не отдельные статьи, а система.
Вы только что закрыли одно задание. Всего их 25.
📌 Дальше — закрепить задание 15.
👉 Разбор 1 части заданий - здесь.
👉 Разбор самых частых ошибок 1 части - здесь.
👉 Разбор 2 части - [выйдет в четверг, 5 марта].
👉 Тренажёр по всем типам - [выйдет в субботу, 7 марта].
📌 Дальше — задание 16. Оно запланировано на неделю 9-15 марта.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.