Основания трапеции относятся как 1:5. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?
Решение.
Обозначим отношения оснований трапеции как х/5х.
Прямая MN разделяет трапецию ABCD на две трапеции: MBCN и AMND. Запишем отношение площадей трапеций, выразив их через формулу:
Найдем отношение EO к OF.
Отрезки EO и OF являются высотами треугольников BO Cи AOD соответственно, следовательно, они относятся друг к другу как основания этих треугольников, а именно, как BC к AD:
Найдем чему равно отношение BC к MN:
Рассмотрим треугольники ACD и OCN – они подобны (угол С общий, угол CON равен углу CAD как соответственные углы при параллельных прямых MN и AD и секущей AC). Значит, их основания ON и AD относятся друг к другу также, как и их высоты EO и EF.
Таким образом, отрезки MO и ON равны, и
Подставим это выражение в следующее равенство:
Теперь выразим MN через BC. Это нужно, чтобы затем подставит в формулу (1) и найти искомое отношение площадей:
Поблагодарить автора можно в комментариях и с помощью лайка. Это станет подтверждением, что его труд не напрасен и действительно приносит пользу💖