В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30, AC=100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.
Находить отрезок СD будем из отрезка АС, длина которого по условию задачи 100. Тогда, для нахождения отрезка CD, нужно найти отрезок AD. Отрезок AD найдем из прямоугольного треугольника ADH.
Итак, мы обнаружили прямоугольный треугольник, сторону которого требуется найти. Это значит, что мы будем искать треугольник, подобный треугольнику ADH. Заметим, что отрезок АО проходит через центр окружности, значит, продлив этот отрезок до пересечения с окружностью, мы получим диаметр.
Достроим отрезки ВК и СК, продолжив прямую АО.
Заметим, что углы АВК и АСК – прямые, т.к. опираются на диаметр.
Поскольку мы ищем прямоугольные подобные треугольники, не лишним будет сразу же отметить в них равные углы.
Итак, на чертеже есть следующие треугольники с углом 90 градусов: ADH, АСК, АВК, АНВ, ВНК (жирным шрифтом выделен прямой угол).
Для того чтобы найти отрезок AD, нужно рассмотреть треугольник ADH и подобные ему треугольники. Это треугольники АСК и АВК – на рисунке обозначены равные углы.
1. Рассмотрим подобные треугольники АСК и ADН:
2. Рассмотрим подобные треугольники АВК и АВН:
Из формулы (1) замечаем, что
А из формулы (2) видим, что
Таким образом, длина отрезка CD hавна 100-9=91.
Теперь разберем, почему мы заметили именно соотношение АК*АН=AD*АС в формуле (1). Все просто – нам нужен отрезок АD, значит его мы и «высматриваем». С другой стороны, мы ищем в пропорциях одинаковые произведения, в нашем случае это АК*АН. Совместив эти два условия работы с пропорциями, обнаруживаем, что АК*АН=AD*АС=АВ^2.