Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. На следующий день он отправился обратно в пункт А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, что и на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А.
Составляя уравнение для решения задачи на движение мы, как правило, берем за «х» ту неизвестную величину, которую требуется найти в задаче. Однако здесь можно поступиться этим правилом и взять за «х» скорость велосипедиста на пути из города А. Таким образом, скорость велосипедиста из В в А равна (х+10) км/ч.
Далее для составления уравнения нужно определиться, что именно мы будем уравнивать.
В задаче сказано, что на обратный путь он затратил столько же времени, что и на прямой. Таким образом, в самом условии приравнивается время прямого пути и обратного. Значит, приравняв время, составим уравнение.
Чтобы приравнять время для начала нужно его выразить. Итак, время пути состоит из времени движения и времени остановки.
По условию задачи, время из А в В и время из В в А, с учетом повышения скорости и остановки, одинаковое. Следуя этому условию, составим уравнение:
Решив уравнение через дискриминант, получим положительный корень х=10 км/ч.
Но будем внимательны и еще раз прочитаем вопрос задачи: «Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А». На обратном пути он ехал со скоростью, превышающую скорость прямого пути на 10км/ч, т.е. со скоростью 20 км/ч.
Ответ: 20 км/ч.
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Как и в предыдущей задаче, у нас сравнивается время. Его-то мы и будем выражать, взяв за «х» скорость второго велосипедиста.
Обычно за «х» берется меньшая из двух величина. Например, в нашем случае, первый велосипедист ехал быстрее второго, поэтому скорость второго взята за «х». Это, конечно, не правило, поэтому не принципиально, какая из двух величин будет «х».
Пусть х км/ч - скорость второго велосипедиста, тогда скорость первого – (х+10)км/ч.
В данной задаче время пути соответствует времени движения, поскольку никто из велосипедистов не делал остановку, и оба велосипедиста находились в движении одинаковое количество часов.
Для первого велосипедиста это время равно
Для второго -
По условию задачи разница во времени 3 часа:
Решая уравнение, находим положительный корень х=10. Таким образом, скорость «медленного» велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.
Ответ: 10 км/ч.
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 /ч, скорость второго – 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
Обозначим за «х» расстояние, которое требуется узнать, т.е. то расстояние, которое проехал второй велосипедист, выехав из города В (см. рис.):
Общее расстояние, которое преодолели два велосипедиста вместе, составляет весть путь из А в В, т.е. 82 км. Если второй велосипедист проехал «х км», значит первый – «(82-х)км».
И снова у нас сравнивается время, поскольку оно одинаковое у обоих велосипедистов. Значит, будем выражать время каждого из велосипедистов через «х» и ставить между этими выражениями знак «равно».
Время первого велосипедиста состоит из времени движения и времени остановки:
Время второго велосипедиста – это только время движения, поскольку остановки он не делал:
Заметим, что расстояние выражено в километрах, а скорость – в километрах в час. Значит и время необходимо перевести в часы:
Составим уравнение:
После преобразований придем к линейному уравнению и найдем х=26.
Ответ: 26 км.
Моторная лодка прошла против течения реки 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 ч меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
Отличие задач про водный транспорт от задач про велосипедистов и пешеходов в том, что в них на скорость движения всегда влияет течение реки, ускоряя или замедляя его. У моторной лодки, в отличие, например, от плота, есть собственная скорость. При движении по реке к собственной скорости лодки прибавляется скорость течения реки, а при движении против течения, наоборот, вычитается. Поэтому на обратный путь против течения она затратила больше времени, чем на путь по течению.
По уже известному методу обозначим за «х» искомую в задаче величину, т.е. скорость лодки в стоячей воде.
Время прямого пути и обратного различаются на 3 часа, поэтому разность этих двух времен равна 3:
Выразим время прямого и обратного путей через «х»:
Запишем их разность, которая равна трем:
Решив уравнение, найдем х=28 км/ч.
Ответ: 28 км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 280 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 15 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 39 часов после отплытия.
Как и в предыдущей задаче, нам требуется найти собственную скорость транспорта, поэтому за «х» обозначим скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость движения теплохода по течению реки – «(х+4) км/ч», а против течения – «(х-4) км/ч».
Нам известно, что его общее время, которое он потратил на прямой и обратный путь с учетом стоянки, 39 часов.
Выразим время через «х» и составим уравнение:
Решив уравнение «через дискриминант», найдем положительный корень х=24.
Ответ: 24 км/ч