Выполнение задания типа 23 на ОГЭ требует знаний теории функций, а именно, ясного понимания того, как двигаются и изменяются графики в зависимости от изменения функции.
Для тех, кто подзабыл, есть отдельный материал на эту тему
Ну а теперь к задаче типа 23...
Постройте график функции y=|x|⋅(x−1)−2x. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
Для начала вспомним, как раскрывается модуль:
Переведем записанное выше на русский язык.
Поскольку модуль – это величина, которая не может быть отрицательной ни при каких обстоятельствах, ей приходится подстраиваться под переменчивые значение переменной «х». А именно, если переменная «х» приняла на себя положительное значение, то «модуль х» просто сравнивается с ней. Ведь знак переменной такой же положительный, как и знак модуля.
Если переменная «х» приняла значение, которое меньше нуля, т.е. отрицательное (на то она и переменная, чтобы принимать разные значения), то «модуль х» как бы «не соглашается» быть равной ей. Поэтому, чтобы их «примерить», перед отрицательной переменной «х» ставится знак «минус», который меняет ее отрицательный знак на положительный. Таким образом, они с «модулем х» приравниваются.
Теперь рассмотрим данную функцию с двух сторон. С одной стороны, когда «модуль х» положителен, а с другой – когда отрицателен.
1. Пусть х больше или равен нулю.
2. Пусть х строго отрицателен.
Важно! Когда мы раскрываем модуль с отрицательным «х», знак «минус» ставится только перед тем «х», который стоит в модуле. Все остальные «х» остаются без изменения.
Теперь построим график функции y=|x|⋅(x−1)−2x.
1. Когда «х» больше или равен нулю:
2. Когда «х» строго меньше нуля:
Легкий прием для выделения полного квадрата:
Для того чтобы легко выделить полный квадрат из выражения типа
нужно сделать так:
Итак, мы получили функцию вида (1) для неотрицательного "х" и функцию вида (2), теперь объединим их в одной системе координат и построим целостный график:
При построении графика (1) мы используем только ту часть плоскости, «х» положителен или равен нулю – это I и IV четверти.
Чтобы построить график функции
Нужно взять за основу график y=x^2 и сдвинуть его – по оси «х» вправо на 3/2, а по оси «у» - вниз на 4/9.
Аналогично строим график функции (2), но уже в строго отрицательной части «х».
Сдвигаем все тот же график по оси «x» влево на ¼, а по оси «у» - вверх на ¼.
Таким образом, существует две прямые, пересекающие график функции в двух точках: у=1/4 и
у=-4/9.
Ответ: при m=1/4 и m=-4/9.