Невероятно, но факт: есть такие отрезки, которые невозможно построить с помощью только обычной линейки. Иногда нужен еще и циркуль, и кое-какие знания по построению отрезков, длина которых выражается иррациональным числом.
На самом деле, все не так сложно, как кажется. А все благодаря старой доброй теореме Пифагора, которая много раз выручала нас, когда нужно было найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Вот и сейчас ее знание пригодится нам.
Начнем с построение отрезка, длина которого «корень из 2»:
Из теоремы Пифагора мы знаем, что диагональ квадрата со стороной 1 равна «корень из 2». Действительно,
Построим числовую прямую и выберем на ней единичный отрезок. Имеем ввиду, что фактическая длина отрезка «корень из 2» будет зависеть от выбранной длины единичного отрезка.
После того, как на оси абсцисс и оси ординат отмечены «1», найдем и отметим точку с координатами (1;1). Таким образом, мы построили квадрат со стороной 1, диагональ которого равна «корень из 2».
Теперь нужно спроецировать длину «корень из 2» на числовую прямую. Для этого ставим иглу циркуля в точку (0;0), а грифель в точку А (см. рисунок). Строим окружность с центром в начале координат и радиусом, равным диагонали квадрата со стороной 1, т.е. с длиной «корень из 2».
Если построить квадрат, длина диагонали которого равна иррациональному числу «корень из 2» не составляет труда, то как построить другой прямоугольник, длина диагонали которого будет, например, «корень из 3»?
Для этого используем все ту же теорему Пифагора и свойства квадратных корней. Вспомним, что при возведении квадратного корня, получаем его подкоренное выражение:
Таким образом, чтобы диагональ прямоугольника была равна «корню из 3», нужно, чтобы стороны этого прямоугольника были равны «корень из 2» и 1.
На рисунке отрезок СВ есть диагональ прямоугольника со сторонами «корень из 2» и 1. Это значит, что если построить окружность радиуса СВ с центром в точке (0;0), то она пересечет ось абсцисс (ось х) в точке «корень из 3».
Таким образом, можно построить отрезки, имеющие «иррациональные» длины, просто продолжив строить прямоугольники и проводив в них диагонали.