1. Показательной функцией называется функция вида
где а – положительное число, не равное единице, т.е.
2. В качестве примера рассмотрим показательную функцию
Будем изменять ее смотреть как при этом будет изменяться ее график.
3. График функции в своем изначальном варианте выглядит так:
График функции 2^x
По графику мы видим, что
· Функция является монотонной, а именно, возрастающей на всей своей области определения. Это происходит по той причине, что число, возводимое в степень, больше 1, а значит, увеличивается вместе со степенью, в которою возводится.
· График функции проходит через точку (0;1).
· Функция определена при любом значении х, т.е. в качестве аргумента мы можем брать любое число – и положительное, и отрицательное, и нуль.
· Функция принимает только положительные значения. Напомним, что число, которое возводится в степень «х» всегда, по определению показательной функции, положительно и не рано единице.
· Ось Ох является асимптотой, графика функции, т.е. той прямой, к которой график стремится, но никогда не совмещается и не пересекает ее.
4. Теперь посмотрим, как будет меняться график функции при ее изменении.
4.1 Построим график функции
Заметим, что теперь график пересекает ось Оу не в точки (0;1), как это было в предыдущем случае, а в точке (0;2). Таким образом, сдвинулась ордината точки не 1 вверх. На самом деле, этот сдвиг произошел с каждой точкой графика.
Так, чтобы построить график функции 2^(x)+1 из графика 2^(х), нужно просто передвинуть каждую точку исходного графика на 1 вверх.
Аналогично, чтобы, например, построить график функции 2^(x)-1 нужно передвинуть каждую точку графика на 1 вниз.
4.2 Теперь постоим график функции
С первого взгляда кажется, что график этой функции не отличается от графика функции из пункта 4.1, и этот график также проходит через точку (0;2), но они совершенно разные!
На самом деле, чтобы построить график функции y=2^(x+1) из графика функции y=2^x, нужно сдвинуть каждую точку на 1 влево, т.е. по оси Ох.
Покажем это:
По таблице мы видим, что обе функции принимают значение, например, 1. Однако первая функция принимает это значение в точке х=0, а вторая – в точке х=-1. То же самое и для других точек.
На рисунке показано, как точка первого графика (1;2) перешла в точку второго графика (0;2), т.е. ее абсцисса (х) уменьшилась на 1.
Подведем итог вышесказанному:
Если 1 прибавляется (вычитается) к функции, т.е. y=2^x+(-)1, то график сдвигается на единицу вверх (вниз).
Если 1 прибавляется к аргументу, т.е. y=2^(x+1), то график сдвигается на 1 влево.
Если 1 вычитается из аргумента, т.е. y=2^(x-1), то график сдвигается на 1 вправо.
4.3 Аргумент стоит под знаком модуля
Исходя из того, что аргумент стоит под знаком модуля, значение степени, в которую возводится «2», всегда неотрицательно. Это значит, что функция может принимать значения больше или равные единице.
Покажем это:
Как видно из таблицы, противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, т.е. график данной функции симметричен относительно оси Оу.
Чтобы построить график функции y=2^|x| из графика функции y=2^x, нужно оставить ту часть графика y=2^x где х положителен и построить кривую, симметричную ей относительно оси Оу.
4.4 Аргумент отрицательный
Чтобы получить график функции y=2^(-х) из графика функции y=2^(x) нужно для каждой точки графика y=2^(x) построить симметричную ей точку относительно оси Оу.
Заметим, что поскольку точка (0;1) принадлежит оси Оу, она отобразится в саму себя.
4.5 Показательная функция с заданным числом а меньше 1.
Напоследок рассмотрим случай, когда число, возводимое в степень х, меньше 1, но больше нуля:
На самом деле, график данной функции совпадает с графиком функции из пункта 4.4. Покажем, что путем равносильных преобразований мы можем перейти от одной функции к другой:
Иллюстрации созданы с использованием сайта https://math.semestr.ru/math/plot.php
Дорогой читатель, Ваша оценка моего труда и обратная связь в виде комментария очень мотивирует к созданию новых уроков. Пожалуйста, не забудьте поставить лайк), если было интересно и полезно!