В 1964 году появилась статья с названием, которое выглядит почти как шутка: «H = W». На первый взгляд — всего лишь равенство двух букв. Но за ним скрывается фундаментальный результат для математики XX века.
Дело в том, что в середине прошлого века активно развивалась теория дифференциальных уравнений. Классическая математика оперировала только «гладкими» функциями — теми, у которых есть производные в привычном смысле. Но очень часто в задачах встречаются функции, которые ведут себя плохо: у них есть разрывы, изломы, углы. На таких функциях классическая производная перестаёт существовать. Казалось бы, тупик. Но в 30–40-е годы возникла идея рассматривать обобщённые производные. Она позволяет придавать смысл производным даже там, где обычного дифференцирования нет. Классический пример — функция 𝑓(𝑥)=∣𝑥∣. В нуле она не имеет производной, но в обобщённом смысле её производная существует и равна функции «sgn(x)».
Чтобы работать с такими объектами, математики ввели специальные пространства функций — пространства Соболева. Но оказалось, что можно подойти к их определению как минимум двумя путями. В одном случае берут замыкание «хороших» функций в специальной норме — это обозначали буквой H. В другом — сразу требуют, чтобы функция и её обобщённые производные принадлежали определённому пространству 𝐿𝑝, и это называли W. Эти два определения выглядели похожими, но не было очевидно, что они действительно дают одно и то же.
И вот в 1964 году Джеймс Серрин и Нормэл Джордж Мейерс опубликовали работу, в которой доказали: для любых областей, любого порядка производных и любого показателя интегрируемости два подхода эквивалентны. То есть H и W — это одно и то же. Доказательство заняло меньше страницы.
Почему это оказалось таким важным? Потому что в исследованиях дифференциальных уравнений стало возможным свободно переходить от одного подхода к другому. Одни математики удобнее формулировали задачи через H, другие через W, и теперь было ясно, что они говорят об одном и том же объекте. Это аналогично тому, как если бы мы сначала доказали, что алгебраическое уравнение имеет комплексное решение, а затем доказали бы, что это комплексное решение является действительным, или доказали бы, что уравнение имеет действительное числовое решение, а затем доказали бы, что это действительное числовое решение на самом деле является целым. Проще сначала найти решение в более широком пространстве, а затем, если возможно, показать, что найденное вами решение принадлежит более узкому пространству
