Снова в школу, снова за парту.
Как говорят в Японии: «Учиться – что толкать тележку в гору». Сегодня мы начнем толкать эту тележку с гранитом науки алгебры, а точнее вспомним тему «Неравенства».
В начале 9 класса те, кто осваивает алгебру по учебнику А. Г. Мерзляк, вновь встретятся с доказательством неравенств. И если со строгими неравенствами, когда «а» просто меньше «b» все понятно, то с нестрогими неравенствами еще предстоит разобраться.
Поясним сразу, что знак «больше или равно» имеет смысл в случае, когда одно значение или больше другого, или ему равно.
Рассмотрим пример доказательства неравенства.
Доказать, что неравенство верно при любых значениях переменной:
Для доказательства неравенства часто применяется один и тот же прием, а именно прием вычитания правой части из левой (или наоборот). Основан он на том, что если «а» меньше «b», то разность а-b будет отрицательной. Если a=b, то их разность равна нулю.
Вычтем из левой части правую часть и выясним знак получившегося выражения.
Присмотримся к числителю и увидим, что он превратится в квадрат, если вынести знак «минус» за скобки:
Напомним, что здесь мы использовали формулу сокращенного умножения, а именно, формулу квадрата разности:
В нашем случае имеем соответствие:
Теперь перепишем полученную дробь, записав числитель в виде квадрата разности:
Квадрат числа всегда больше или равен нулю, это значит, что числитель данной дроби может быть или отрицательным (т.к. знак минус делает его отрицательным), или равным нулю (это произойдет в случае, если a=b).
Знаменатель дроби всегда положителен, поскольку положителен каждый из его множителей.
Получается, что мы делим числитель, как отрицательное или равное нулю число, на положительное число.
Результат деления отрицательного числа на положительное всегда будет отрицательным, а результат деления нуля на любое число – всегда ноль. Таким образом, мы приходим к выводу, что разность (*) может принимать или отрицательное значение, или быть равной нулю. Что и требовалось доказать.
Справочный материал:
Среднее арифметическое чисел «а» и «b» вычисляется по формуле
Чтобы найти среднее арифметическое в общем случае, нужно сумму чисел разделить на их количество:
Среднее геометрическое чисел «а» и «b» вычисляется по формуле:
Чтобы найти среднее геометрическое n-го количества чисел, нужно извлечь корень n-й степени из их произведения:
Среднее арифметическое всегда больше или равно среднего геометрического:
Поблагодарить автора можно с помощью лайка) и в комментариях.
А здесь материал, который пригодится к подготовке к ОГЭ, ведь год учебный пролетит незаметно 😮