Алиса и Марк подбрасывают монету. Вероятность выпадения орла/решки одинакова каждый бросок. Алиса делает броски до тех пор, пока не выпадет орёл, а за ним ним сразу решка. Марк - пока не выпадет два орла подряд.
Кто в среднем сделает больше бросков?
Мы спросили наших читателей в Telegram, какой из вариантов ответа на этот вопрос они считают правильным. Вот результаты.
Правильный ответ на эту задачку: Марку в среднем понадобиться больше бросков (6), чем Алисе (4).
Этот ответ дали лишь 16% проголосовавших.
Далее мы приведем математическое решение этой задачки. Но даже если вы не дружите с математикой, пожалуйста, не пропустите полезные выводы для ваших инвестиций в конце поста!
Решение
Мы знаем, что Алиса и Марка бросают монеты, которые выпадают на орле или решке с одинаковой вероятностью (fair coins) – 50%.
Таким образом, в любых двух последовательных бросках комбинация Орел-Решка («ОР») Алисы выпадет с такой же вероятностью, как и Орел-Орел («ОО») Марка.
Поэтому «кажется», что в среднем они оба сделают одинаковое количество бросков.
Но это неверный ответ. В среднем Алисе понадобится всего за 4 броска. Марк сделает 6 бросков – ему в среднем понадобится больше времени. Как странно!
Вот в чем дело:
- Алиса: как только у неё выпал первый орёл, она уже «прошла половину пути». Дальше ей нужна только решка. Если снова выпал орёл - это тоже нормально, она остаётся в нужном состоянии и может снова ждать решку. Ей не приходится начинать заново.
- Марк: после первого орла ему обязательно нужен второй подряд. Но если выпала решка - всё пропало, он возвращается в самое начало (ему снова нужно два орла).
Вот почему Марку требуется больше времени! Время от времени, ему приходится начинать все заново.
Точное решение, правда, довольно непростое - нужно использовать цепи Маркова. Поэтому в этом месте у вас есть еще один шанс сразу перейти к полезным выводам ближе к концу поста.
Когда дело доходит до вероятности, наша интуиция часто вводит нас в заблуждение. Лучший способ справиться с этим — тщательно записать различные возможные результаты и поработать над математическими расчетами.
На картинке ниже можно увидеть цепи Маркова для Алисы (1) и Марка (2).
Цепь Алисы, например, показывает, что в любой момент она может находиться в одном из четырех возможных «состояний» (от S0 до S3). В каждом состоянии Алиса подбрасывает свою монету. В зависимости от результата броска («О» - Орел или «Р» - Решка) она при необходимости переходит в другое состояние.
- Например, S0 — это состояние «Старт» - Алиса бросает свою монету. Если выпадает «О», она следует по оранжевой стрелке от S0 (с надписью «О»), которая приведет ее к S1.
- В S1 Алиса увидела «О» и надеется, что следующей выпадет «Р» (поэтому что ей нужна комбинация «ОР»).
- Если при броске S1 выпадает решка, она переходит в S2 - в свое состояние «победы» (готовности комбинации «ОР»).
- Но если вместо этого выпадает «О», она следует за оранжевой стрелкой от S1, что удерживает ее на самом событии S1.
Вот и вся цепь Маркова. Много состояний. В каждом состоянии происходит случайное событие (например, подбрасывание монеты). Основываясь на результате этого случайного события, мы следуем соответствующей стрелке, чтобы перейти к следующему состоянию. Попав в следующее состояние, повторяем и смотрим, что происходит.
Теперь разница между Алисой и Марком очевидна. Когда Марк находится на S1 и ему не везет (выпала решка), ему приходится «вернуться к нулю» (в состояние S0) и начать все сначала. У Алисы все иначе. Как только Алиса окажется в S1, ей больше никогда не придется возвращаться в S0.
Вот почему Марку требуется больше времени! Время от времени, в отличие от Алисы, Марку приходится начинать все заново.
Самое приятное в цепях Маркова то, что они позволяют нам измерять все это количественно. Если мы знаем начальное состояние, мы можем вычислить вероятность пребывания в любом состоянии в любое время по следующей формуле (3):
Эта формула является «итеративной». То есть, если мы знаем вероятность пребывания в каждом состоянии в момент «k» (бросок «k»), формула дает нам вероятность каждого состояния в следующий момент «k+1» (на броске «k+1»).
Формула требует построить переходные матрицы M. Чтобы получить эти матрицы (4 - см. картинку ниже), мы просто берем вероятность каждой «стрелки» цепи Маркова и помещаем ее в соответствующий слот матрицы.
Теперь мы можем повторять расчеты, находя вероятности каждого состояния (Pr) на каждом броске k. На картинке (5) можно увидеть расчет вероятностей для первых четырех бросков.
В любой момент, если Алиса или Марк увидели свою комбинацию, они будут в S2 или S3. Видно, что после четырёх бросков Алиса уже имеет вероятность Pr(S2) + Pr(S3) = 3/16 + 1/2 = 68.75% закончить броски. Но у Марка этот шанс составляет только 50%.
Получить среднее кол-во бросков также несложно – это просто формула математического ожидания (6) нахождения в состоянии S2.
Делая расчеты в Excel, Python, MATLAB и пр., вы увидите, что эта формула сходится на значении 4 бросков для Алисы и 6 – для Марка.
Поэтому правильный ответ – Марк.
Полезные выводы
1. Насколько это возможно, нам следует избегать ситуаций, когда один-единственный поворот неудачи может заставить нас начать все сначала.
В финансовом планировании эквивалентом этого является отсутствие сбережений (подушки безопасности), медицинского страхования, страхования важного имущества, плохое планирование наследства. В инвестировании - использование слишком большого кредитного плеча, непокрытых опционов и пр.
Поступая таким образом, мы ставим себя в положение, когда краткосрочная волатильность и случайные события могут нас уничтожить, заставляя нас, по сути, начинать с нуля снова и снова.
2. Главный принцип устойчивости
В долгосрочных стратегиях важно строить такие системы, где краткосрочные колебания не могут разрушить фундамент.
Это перекликается с идеями Насима Талеба («Антихрупкость»): выигрывают те, кто минимизирует уязвимость к редким, но разрушительным событиям.
3. Разная "стоимость" достижения цели
Цель Алисы (ОРЁЛ-РЕШКА) достигается в среднем за 4 броска, а цель Марка (ДВА ОРЛА) - за 6. Это прямое указание на то, что достижение разных финансовых целей требует разного количества времени, капитала и терпения.
Для инвестора - более амбициозная цель (например, "удвоить капитал" против "получить доходность выше инфляции") потребует не просто немного больше времени, а непропорционально большего количества попыток (сделок, инвестиционных циклов) и сопряжена с более высоким риском.
Ожидания должны быть адекватны. В противном случае в большой мере именно случайность будет определять ваш результат.
4. Сила накоплений против силы случайности
Алиса выигрывает потому, что её система «накопительная» - прогресс сохраняется и накапливается.
Марк же каждый раз сталкивается с возможностью полного отката. В инвестициях это разница между систематическим накоплением капитала и попыткой угадать рынок, где неверный шаг может отбросить назад.
======
Читайте также:
... и еще десятки полезных публикаций в нашем канале Telregram. Вот тут есть полный гид по каналу