Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АВСD проведен перпендикуляр СЕ к прямой АD, содержащей большее основание. Докажите, что
Так как длина средней линии трапеции равна полусумме оснований, то следует доказать, что перпендикуляр СЕ равен средней линии трапеции.
Для этого достроим четырехугольник АМNE, где MN – средняя линия, и докажем, что он является параллелограммом.
1. MN параллельно AD по свойству средней линии трапеции. Для доказательства того факта, что АМNE докажем, что параллельны и стороны АМ и EN.
2. По теореме Фалеса AD параллельно MN и параллельно BC, АМ =МВ, значит ЕН = НС.
Таким образом, треугольник ЕСN – равнобедренный, а NН его высота, медиана и биссектриса.
2.1 Так как AD параллельно MN, то
3. Из 2 и 2.1 следует, что АМNE параллелограмм. Значит, его противоположенные стороны равны, следовательно MN = AE.
4. Как уже было сказано, MN – это средняя линия, которая равна полусумме оснований, следовательно
В прямоугольной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны. Большая диагональ составляет с меньшей из боковых сторон угол в 60 градусов. Докажите, что меньшая диагональ равна полусумме оснований трапеции.
Из задачи следует, что нам нужно доказать равенство меньшей диагонали прямоугольной трапеции и средней линии. Однако для решения этой задачи мы не будем прибегать к их сравнению, а воспользуемся теоремой о синусе угла 30 градусов. Вспомним ее:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
1. Заметим, что угол СВО = углу ОDА. Они равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и DC и секущей BD.
Угол АВО = 90 – 30 = 60 градусов.
2. Рассмотрим треугольники АOD и СВО, а именно их катеты АО и ОС, которые лежат напротив углов в 30 градусов.
2.1.По теореме ОС = 1/2ВС, ОА – 1/2AD, следовательно