Введем понятия и формулы, которые нам понадобятся для решения задач.
Высота, проведенная в прямоугольном треугольнике к гипотенузе, образует два треугольника, подобных данному треугольнику. Из этого следует, что треугольники, образованные этой высотой, также подобны между собой.
Напомним, что из себя представляет синус, косинус и тангенс угла на примере острого угла С в треугольнике АВС.
Для решения тригонометрических задач из задания типа 15 очень пригодятся также разные формулы площади треугольника. Их нужно знать, как минимум, две:
Рассмотрим задачу, в которой вычислим высоту, проведенную к гипотенузе, через формулы площади.
Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Подставим найденное значение ВС в уравнение (*) и получим уравнение относительно одной переменной АН, которую нам и нужно найти:
Существует немало задач, где уравнение составляется за счет выражения одной и той же величины через разные формулы. В данной задаче этой величиной оказалась площадь треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна 32 корня из 3 (32^sqrt3). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.
Поскольку в этой задаче нам дан один из углов прямоугольного треугольника, то мы можем вычислить третий угол. Угол В равен 60 градусов. Знание градусной меры угла раскрывает нам его тригонометрические значения синуса, косинуса и тангенса.
В этой задаче, в отличие от предыдущей, нам даны не значения катетов, а их отношения к гипотенузе – синус и косинус. Поэтому будем пользоваться формулой площади, в которой она находится через синус:
Мы получили уравнение с двумя неизвестными, значит, нам нужно еще одно уравнение, которое свяжет между собой переменные АС и ВС. Поскольку АС – это катет, прилежащий к углу С и противолежащий углу В, а ВС – гипотенуза, мы можем воспользоваться как функцией синуса (для угла В), так и функцией косинуса (для угла С).
Подставим в (**) вместо АС его выражение через ВС:
Для решения следующей задачи нам пригодятся свойства подобных треугольников, образованных высотой, проведенной из прямого угла.
Точка H является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Нам даны элементы подобных треугольников АВН и АВС, поэтому будем находить в них пропорциональные стороны:
Для того чтобы не запутаться в пропорциональных сторонах подобных треугольников, нужно ориентироваться на углы. Напротив равных углов лежат пропорциональные стороны.
Сказать "Спасибо" можно с помощью лайка и в комментариях)