1. Вектор – это направленный отрезок, имеющий начало и конец. Длина вектора АВ – это длина отрезка АВ.
2. Сложение и вычитание векторов.
2.1 Сумма и разность векторов, как результат перемещения материальной точки.
Всегда лучше не просто зазубрить, а понять принцип, по которому векторы складываются. Можно представить себе бильярдный шар, катающийся по зеленому сукну стола. Шар, получивший ускорение и направление от кия, проходит некоторую траекторию и останавливается в определенной точке. Если нарисовать пусть, пройденный шаром, указав при этом его направление, а затем соединить его начальную и финишные точки, то мы получим наглядную иллюстрацию принципа сложения векторов. Так на рисунке вектор с – это есть сумма векторов а и b.
Чтобы найти сумму нескольких векторов, нужно отложить их на плоскости так, чтобы начало каждого последующего совпадало с концом предыдущего. Результатом сложения векторов будет вектор, с началом в начале первого и концом в конце последнего вектора.
Если можно найти сумму векторов, значит можно найти и их разность.
Вектор а-b – это результат разности векторов а и b. Действительно, если к вектору а-b прибавить вектор b, то мы получим вектор а, т.е.
На рисунке видно, что если к зеленому вектору, который есть разность векторов а и b, прибавить синий вектор (вектор b), то мы снова получим вектор а.
2.2 Сумма и разность векторов, заданных в прямоугольной системе координат.
В начале курса геометрии 9 класса вводится понятие координат вектора.
Нам известно как задаются координаты точек в декартовой системе координат. Векторы также могут быть заданы в этой системе.
Для того чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.
Например, на рисунке координаты вектора р вычисляются так: х=3-1, у=3,5-1,5
Для того чтобы вычесть или сложить векторы, заданные их координатами, нужно сложить или вычесть соответствующие координаты этих вектор.
Также как и числа, мы можем умножать вектор на любое число, при этом получать вектор, коллинеарный данному.
Векторы, принадлежащие одной прямой или параллельным прямым, называются коллинеарными.
Если умножить вектор а на отрицательное число, то полученный вектор будет направлен в строго противоположную от вектора а сторону.
3. Нахождение длины вектора.
Как было сказано ранее, длина вектора АВ – это длина отрезка АВ. Длину вектора мы можем легко найти, если знаем его координаты. В этом нам поможет теорема Пифагора (куда же без нее)).
В треугольнике ОАВ, изображенном на рисунке, длина гипотенузы ОА соответствует длина вектора ОА. Поэтому, длина вектора может быть вычислена по формуле длины гипотенузы:
Если начало вектора совпадает с началом координат, то координатами вектора являются координаты его конца. На рисунке это точка А.
4. Нахождение координат середины отрезка.
Координаты точки С, являющейся серединой отрезка АВ, находятся как полусумма соответствующих координат точек А и В.
Действительно, координаты точки С – это координаты вектора ОС. Вектор ОС равен половине вектора ОD. А вектор ОD – есть сумма векторов ОА и ОD.
5. Нахождение расстояния между двумя точками
Если две точки заданы в прямоугольной системе координат, т.е. заданы их координаты, то вычислить расстояние между ними можно по той же теореме Пифагора, которую мы использовали для нахождения длины векторов.
Расстояние между точками А и В, изображенными на рисунке, есть гипотенуза АВ. Длина катета СВ – это расстояние между координатами х1 и х2, которое находится как их разность, а длина катета АС = у2-у1.
6. Скалярное произведение векторов
По определению, выданному нейросетью, скаляр (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом или функцией, которая не меняется при изменении пространственной системы координат.
Таким образом, результатом скалярного произведения векторов является число, которое не зависит от их местоположения в системе координат.
Вообще, мы можем «брать» и передвигать векторы по системе координат, при этом сохраняя их длину и направление.
Скалярное произведение векторов может быть найдено как в координатах, так и вычислено через их длины и косинус угла между ними.
Пусть заданы два вектора
Их скалярное произведение в координатах вычисляется по формуле:
Также скалярное произведение можно вычислить, используя длины векторов (их тоже можно узнать, если известны координаты) и косинус угла между ними:
Ставьте лайк, если материал был полезен, и подписывайтесь на канал!
#геометрия9класс
#векторы
#длинавектора
#скалярноепроизведение
#математика