Данная статья является текстовой версией опубликованного на этом же канале видео.
Перечень всех статей, опубликованных на канале.
Поговорим о теореме Фалеса. Именно поговорим, потому что при доказательстве постараемся не применять буквенно-цифровые обозначения, а использовать цветные геометрические образы и простые формулировки. Главное, понять суть.
Определимся с утверждением, которое будем доказывать. Возьмем две произвольные непараллельные прямые на плоскости. То есть прямые не совсем произвольные, во-первых, они принадлежат одной плоскости, во-вторых, они не параллельны, но никаких других ограничений нет. Частный случай с двумя параллельными прямыми рассмотрим позже.
На этой же плоскости построим параллельные секущие к двум нашим прямым.
А теперь заявим, что синие отрезки, которые возникли от пересечения секущих с верхней прямой, пропорциональны красным отрезкам, которые получились на нижней прямой. Другими словами, длина левого синего отрезка больше длины левого красного во столько раз, во сколько правый синий отрезок больше правого красного. И, конечно, длины синих отрезков связаны коэффициентом пропорциональности таким же, как и длины красных отрезков. Это и будем доказывать.
Опираться будем на четыре утверждения, которые справедливы для плоскости.
Первое. При пересечении двух прямых вертикальные углы равны.
Второе. При пересечении двух параллельных прямых с секущей накрест лежащие углы равны.
А используя первое утверждение, получаем, что восемь углов с вершинами в точках пересечения на самом деле сводятся к четырем зеленым углам и четырем фиолетовым.
Третье. Пересечение попарно параллельных прямых дает геометрическую фигуру - параллелограмм, у которого противоположные стороны равны.
Четвертое. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны друг другу. То есть длины красных, синих и зеленых сторон двух треугольников связаны одним и тем же коэффициентом пропорциональности.
Рассмотрим две непараллельные прямые на плоскости. Естественно, такие прямые обязательно пересекаются, и мы получаем угол. Как частный случай, потом рассмотрим и такой вариант.
Построим четыре параллельных секущих. Количество секущих может быть любым. Но для доказательства исходного утверждения достаточно четырех.
Построим две прямые параллельные нижней прямой. Получим два треугольника, которые помогут нам доказать теорему.
Вспоминаем накрест лежащие углы у двух параллельных прямых и секущей.
А еще припоминаем равенство противоположных углов при пересечении прямых.
Получается, что у двух серых треугольников правые углы равны.
А если рассмотрим другие параллельные прямые и секущую, не забыв про равенство противоположных углов, то выясним, что и левые углы этих треугольников тоже равны.
То есть серые треугольники подобны.
А теперь используем равенство противоположных сторон параллелограмма. Два красных отрезка равны между собой.
Следовательно, красный отрезок на нижней прямой равен красной стороне левого серого треугольника.
Второй параллелограмм
дает нам равенство двух правых красных отрезков.
У двух подобных серых треугольников выделим нижние стороны синим цветом. У левого треугольника соотношение длин синей и красной стороны точно такое же, как у правого треугольника, поскольку эти треугольники подобны. И, конечно, соотношение длин синих сторон между собой такое же, как и красных. Это тоже следует из подобия треугольников.
Возвращаясь к исходным прямым и понимая, что красные отрезки на нижней прямой равны красным сторонам серых треугольников, приходим к выводу, что левый синий отрезок соотносится с левым красным так же, как правый синий с правым красным.
Кроме того, соотношение длин синих отрезков такое же, как соотношение красных. Мы доказали теорему.
Мы рассматривали не соприкасающиеся отрезки. Добавим к ним два средних отрезка.
Теперь необходимо построить три треугольника, для этого понадобятся три прямых, параллельных нижней прямой.
Повторяя предыдущие рассуждения, получаем три подобных треугольника, у которых красные стороны равны трем красным отрезкам на нижней прямой.
Поэтому, возвращаясь к исходному варианту с двумя прямыми и параллельными секущими, мы можем сказать, что длина левого синего отрезка соотносится с длиной левого красного отрезка так же, как соотносятся между собой длины средних и правых отрезков.
Естественно, что длины синих отрезков соотносятся между собой так же, как длины соответствующих красных отрезков друг с другом.
Мы доказали, что параллельные секущие разбивают две непараллельные прямые на пропорциональные отрезки. Не забываем, что все прямые принадлежат одной плоскости.
А что будет, если секущие нарезают на верхней прямой равные отрезки. В этом случае коэффициент пропорциональности для синих отрезков при сравнении их друг с другом равен единице.
Но тогда, в соответствии с тем, что мы уже доказали, отрезки на нижней прямой тоже будут равны. А длина любого синего отрезка будет пропорциональна длине любого красного с одним и тем же коэффициентом пропорциональности.
Если мы продлим прямые до их пересечения, как я обещал в самом начале, ничего, кроме формулировки, не поменяется. Теперь мы можем говорить, что если параллельные секущие нарезают на одной стороне плоского угла равные отрезки, то на второй стороне угла отрезки тоже будут равны между собой.
А если параллельные секущие создают на одной стороне угла отрезки разной длины, то мы скажем, что эти секущие разбивают стороны плоского угла на пропорциональные отрезки.
И напоследок рассмотрим пересечение двух параллельных прямых и параллельных секущих.
Понятно, что соответствующие отрезки на верхней и нижней прямой будут равны между собой, как противоположные стороны параллелограмма. И естественно, что соотношение длин синих и красных отрезков будет одно и то же вне зависимости от того, на какой прямой располагается отрезок.
Более того, мы можем утверждать, что если соответствующие отрезки на верхней и нижней прямой не равны друг другу, то прямые не параллельны.
На сегодня все. Удачи вам. Дерзайте.
