Поставим вопрос о том, как числа набора данных расположены по отношению к своему среднему арифметическому. Зная только размах, мы не можем судить об этом. Полную информацию даёт набор отклонений.
Определение. В наборе чисел отклонением числа от среднего арифметического называется разность между этим числом и средним арифметическим набора.
ПРИМЕР 1. На рисунке изображён набор чисел: 1; 4; 5; 9; 12. Среднее арифметическое равно 6,2. Отклонение числа 9 от среднего равно 9 – 6,2 = + 2,8. Знак « + » можно не писать, но мы написали его, чтобы подчеркнуть, что отклонение положительно. Число 5 на прямой расположено левее среднего арифметического. Это значит, что его отклонение отрицательно: 5 – 6,2 = – 1,2.
Свойство отклонений
Основное свойство отклонений. Сумма отклонений от среднего арифметического равна нулю. Это свойство удобно использовать для самопроверки при вычислении отклонений.
ПРИМЕР 2. Отклонения чисел образуют новый числовой набор. Для примера возьмём набор: 1; 6; 7; 9; 12.
Среднее арифметическое этого набора
Найдём отклонение каждого числа от среднего:
1 – 7 = – 6, 6 – 7 = – 1, 7 – 7 = 0, 9 – 7 = 2, 12 – 7 = 5.
Если число меньше среднего, то его отклонение отрицательно, если число больше среднего, то его отклонение положительно. В одном случае – для числа 7, которое совпало со средним арифметическим, – отклонение равно нулю.
Если не все числа в наборе совпадают друг с другом, то часть отклонений положительна, а часть – отрицательна. При этом сумма всех отклонений у любого набора равна 0. Убедимся в этом на нашем примере:
– 6 – 1 + 0 + 2 + 5 = 0.
Модуль отклонения называют абсолютным отклонением.
ПРИМЕР 3. Среднее арифметическое числового набора 10, 4, 1, 8, 2 равно 5. Число 2 левее числа 5 на 3 единицы, а число 8 правее числа 5 на 3 единицы. Следовательно, абсолютные отклонения у этих чисел одинаковы:
По абсолютным отклонениям можно судить о том, велико ли рассеивание чисел на числовой прямой. Чем меньше в целом абсолютные отклонения в среднем, тем меньше рассеяны значения в наборе.
Упражнения
1. Найдите отклонения от среднего арифметического чисел набора:
–2,5; 3,1; 5,3; –1,3; 4,8.
2. Для данного числового набора найдите абсолютные отклонения чисел:
8,4; 4,5; 6,7; 4,4.
3. Дан числовой набор. Найдите в этом наборе два числа, которые имеют одинаковое абсолютное отклонение от среднего арифметического:
12; 9; 8; 11; 2; 4; 3.
