Подробных выкладок делать не стану, всё опирается на 3 предыдущих статьи о возведении чисел в степени и 1 статью о представлении чисел в тригонометрической форме.
Любое комплексное число можно представить как тригонометрическое, т.е. в виде произведения вещественного положительного числа (модуль комплексного числа) на единицу (минус единица) представленную через косинус и синус какого-то угла.
В таком случае нам надо по отдельности возвести в комплексную степень вещественное число, о котором идёт речь выше, и, дополнительно, возвести в комплексное число единицу(минус единицу), представленную через косинус и синус какого-то угла.
Комплексное число представляет собой сумму вещественного и мнимого числа. При возведении в степень вещественного числа у нас получается произведение вещественного числа в вещественной степени на вещественное число в мнимой степени. Возведение вещественного числа в вещественную и мнимую степень было рассмотрено ранее.
Результатом возведения вещественного числа в вещественную степень в общем случае является тригонометрическое число.
Результатом возведения вещественного числа в мнимую степень является тригонометрическое число, но с комплексным углом. При этом появляется новая свободная переменная, являющая целым числом.
При возведении единицы, представленной через косинус и синус какого-то угла, степень просто умножается на угол. В результате будет опять единица(минус единица) представленная через косинус и синус от угла помноженного на степень. Т.е. угол станет комплексным в нашем случае.
Далее все эти результаты собираются в одну кучу с использование формул косинус и синуса суммы углов.
В результате получаем тригонометрическое число, где угол является комплексным.
Замыкание алгебры относительно возведения в степень.
Изначально я планировал рассмотреть возведение тригонометрических чисел в тригонометрические, но оказалось, что это требует дальнейшего расширения. Получаются комплексные углы.
Если мы возведём число в тригонометрическое, то согласно алгоритму у нас угол для синуса и косинуса станет не комплексным, а тригонометрическим. А это дальнейшее расширение.
Замыкание мы не получим. Мы постоянно будем расширяться и расширяться, но, для сегодняшнего дня нам важны комплексные числа, поэтому рассмотреть возведение в степень комплексных чисел в комплексные было необходимо.
