Дан четырёхугольник ABCD, в котором ∠ABD=∠DBC=60∘, ∠ADB=40∘, а ∠BDC=70∘. Найдите величину угла между его диагоналями.
Ну тут прям нужно достраивать.
По данным из условия мы легко можем посчитать, что угол BAD 80 градусов, а BCD 50. Это пока ничего не дает. Не пугаемся и начинаем достраивать.
Достраиваем треугольник BHC. Угол НВС получается 60 градусов как смежный к 120-градусному углу. А вот сторону BH мы осознанно делаем равной стороне BC, и получается что BHC это уже равносторонний треугольник.
Интересно, но опять пользы чуть.
Тогда достраиваем треугольник DCM. Угол C как смежный к углу в 110 (60+50) градусов равен 70 градусов, угол D так же как смежный к углу в 110 (40+70) градусов равен 70 градусов.
И вот теперь уже картина проясняется.
Смотрим на треугольник ABD. Биссектриса внешнего угла B пересекает биссектрису внешнего угла D в точке С. В эту же точку приходит диагональ АС, а значит она тоже биссектриса угла А.
Угол А мы знаем и теперь нетрудно посчитать, что диагонали пересекаются под углом 80 градусов.
Ответ: 80 градусов.
