В этой статье разберемся, какие же задачи решаются методами начертательной геометрии в процессе изображения объектов на плоскости и составляют основу данной дисциплины.
Напомним, что начертательная геометрия – это раздел геометрии, изучающий способы изображения предметов на плоскости. В процессе изображения предметов на плоскости в начертательной геометрии решается ряд задач, которые классифицируют на две большие группы – позиционные и метрические задачи
Позиционными называются задачи, в которых на комплексном чертеже определяются относительное положение или общие элементы геометрических объектов. Примеры: задача на построение линии пересечения двух поверхностей, задача на определение точки касания поверхности и прямой и подобные.
Метрическими называются задачи, в условии или решении которых присутствуют измеряемые характеристики, то есть линейные и угловые величины, площади и объемы. Примеры: задача на определение натуральной величины отрезка, задача на построение прямой под определенным углом наклона к плоскости (см. рис. 1) и подобные.
Как правило, в сложных задачах решаются и позиционные и метрические. Такие задачи относятся группе комбинированных.
Классический пример комбинированной задачи – найти расстояние от точки до плоскости. Этапы решения:
- построить перпендикуляр от точки к плоскости (метрическая задача) (см. рис. 1);
- найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (позиционная задача);
- найти длину отрезка перпендикуляра (метрическая задача).
Давайте разберем две большие группы позиционных задач, решаемых в начертательной геометрии. Они так и называются – первая и вторая позиционная задачи.
Общий случай первой позиционной задачи – определение точки (точек) пересечения произвольной кривой линии с произвольной поверхностью. В простейшей постановке – найти точку пересечения прямой с плоскостью (прямая – это простейшая линия, а плоскость – простейшая поверхность) (см. рис. 2).
Общий случай второй позиционной задачи – определение множества точек пересечения двух произвольных поверхностей (см. рис. 3). В простейшей постановке – найти линию пересечения двух плоскостей.
В зависимости от формы геометрических объектов и их взаимного расположения возможно бесконечное множество постановок этих двух позиционных задач. При этом основной принцип их решения давно известен и заключается в последовательном решении ряда более простых позиционных задач.
Для решения позиционных и метрических задач на плоскости требуется хорошо понимать взаимосвязь пространственных моделей геометрических объектов с их проекциями на чертеже. В то же время их решение позволяет развивать навык пространственного мышления, необходимый любому инженеру.
Простые метрические задачи
Как известно, прямые общего положения НЕ проецируются в натуральную величину ни на одной из основных плоскостей проекций. Соответственно, и отрезки прямых общего положения мы не сможем измерить на комплексном чертеже вследствие искажения их реальных размеров на проекциях.
Рассмотрим следующую задачу - определить натуральную (истинную, действительную) величину отрезка прямой общего положения. Так как постановка задачи включает в себя измерение (определение длины отрезка), то эта задача будет считаться метрической.
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения на комплексном чертеже является простейшей в постановке метрической задачей.
Другой простой метрической задачей является построение прямой под прямым или отличным от 90 градусов углом к другой прямой. Такие задачи встречаются сплошь и рядом в черчении. Однако есть и более сложные варианты этих задач, решаемые не в плоскости, а в пространстве.
Простые позиционные задачи
Позиционные задачи встречаются в начертательной геометрии сплошь и рядом начиная с процесса проецирования. Так как плоскости проекций можно считать обычными плоскостями в пространстве, то задачи на определение положения прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций являются простейшими позиционными задачами. Нахождение следов (пересечения) прямых и плоскостей с плоскостями проекций также являются позиционными задачами.
Ещё одни простые позиционные задачи - построение проекции прямой, принадлежащей плоскости, или построение проекции точки, принадлежащей плоскости (условия принадлежности точки и прямой плоскости). Эти задачи относятся к группе задач по принадлежности одних геометрических объектов другим.
Такие простейшие задачи будут сопровождать нас все время при решении более сложных позиционных задач.
Другая группа задач - задачи на пересечение. Простые задачи на пересечение также часто применяются при решении более сложных задач.
Например, в задаче на построение прямой, принадлежащей плоскости, можно представить прямую в плоскости как результат пересечения двух плоскостей. Плоскость, которой пересекли исходную, называется секущей плоскостью. Секущие плоскости, как простейшая позиционная задача, применятся в решении многих других позиционных задач. Подробнее их применение будет рассмотрено в следующих лекциях.
Задачи на касание прямых и плоскостей кривых поверхностей более сложные и являются частным случаем задач на пересечение.
