Даже в повседневной жизни, не считая сложные инженерные и научные задачи, мы постоянно имеем дело с процессами, изменяющимися во времени, или величинами, влияющими друг на друга. Когда известен закон взаимосвязи между величинами, часто возникает вопрос: как сильно изменение в одной величине влияет на изменение в другой? Например, рассмотрим идеальный газ, температура которого поддерживается постоянной, для которого pV = mRT/M = C (некоторая константа). Здесь изменчивы всего две величины, давление p и объем V. Поэтому их легко разделить: p = C/V. Если давление такого газа увеличить в два раза, объем уменьшится во столько же раз.
Ищем дифференциал.
Формально влияние изменений в одной величине на другую можно выразить следующим образом: p2 - p1 = Δp = C/V2 - C/V1 = C * (V1 - V2)/(V1 * V2) = - CΔV/(V1*V2). Мы нашли величину, на которую изменится давление при изменении на некоторую величину объема. Предположим, что объем изменяется бесконечно незначительно, тогда и давление будет изменяться бесконечно незначительно, но по-разному (для разных стартовых значений объема). Делается это очень просто: Δp заменяется на dp, ΔV заменяется на dV, а V1 и V2 заменяются на V (ну потому что незначительное изменение в V2 по отношению к V1 не влияет сколько-нибудь заметно на произведение V1*V2). В результате имеем dp = -CdV/V^2. Величины dp и dV называют дифференциалами, имея в виду малое их изменение.
Так мы из p = C/V получили формулу dp = -CdV/V^2, откуда отношение dp/dV = -C/V^2, так мы получили производную давления по объему без всяких таблиц и загадочных правил, просто через дифференциалы. Производная здесь является просто отношением бесконечно малых изменений зависимой и независимой переменных. Кстати, можно было выразить объем через давление: V = C/p, тогда бы по такой же схеме мы бы получили производную объема по давлению: dV/dp = -C/p^2. Так не всегда происходит, просто исходная формула симметрична относительно переменных V и p, поэтому и прямая с обратной производные имеют одинаковый вид.
Ищем интеграл.
Теперь мы имеем выражение для бесконечно малого изменения давления: dp = -CdV/V^2 и хотим понять из него (как будто мы не знаем о формуле p = C/V), как изменится давление, если объем изменить значительно от некоторого V1 до некоторого V2. Изменение Δp можно представить как сумму малых изменений и подставить вместо dp выражение -CdV/V^2:
Здесь мы выразили значительное изменение Δp через сумму незначительных изменений dp, поэтому N должно быть максимально большим числом, чтобы dp и, соответсвенно, dV были минимально возможными (лучше скажем стремящимися к нулю). Переменная суммы i изменяется так, чтобы объем V изменился от V1 до V2 (не включая само значение V2, потому что каждое приращение определяет прирост до правой границы своего интервала) при i, изменяющемся от 0 до N. Если мы планируем в конце концов эту сумму обратить в бесконечную, то не важно, каким способом мы разобъем Δp на малые части: поэтому будем изменять с постоянным шагом dV, тогда
В последней сумме в знаменателе в скобках величина V1 + idV изменяется линейно от V1 до V2, так что это выражение можно заменить другим эквивалентным, двигаясь не от V1 до V2, а от V2 до V1:
Поскольку в знаменателе исходно две одинаковые скобки, но их можно записать по-разному, предлагаю одну скобку записать первым способом, а вторую - вторым:
Теперь раскроем скобки в знаменателе:
и немного перегруппируем слагаемые в знаменателе:
в последнем знаменателе все слагаемые, начиная со второго по порядку величины меньше первого слагаемого, поэтому мы пренебрежем ими:
Так мы получили формулу для Δp = C/V2 - C/V1, которую обсудили в начале статьи.
Здесь мы имели дело с дифференциалами и интегралами на базовом уровне, который может восприниматься сложнее, чем в школьной программе, где требуется просто заучить понятия производной и интеграла и использовать их свойства напрямую, не вникая в детали. Важно следующее. Обычные функции, не содержащие дифференциалов, производных и интегралов, определяют зависимость некоторой переменной от мгновенных значений другой или других переменных. Если же начать исследовать, как некоторая переменная будет изменяться при изменении другой или других переменных, возникает необходимость рассматривать малые приращения. Можно вообще не используя понятия дифференциала, производной и инеграла проводить такие исследования, но использование производной и интегралов и уже полученных правил в этой области позволяет проводить вычисления быстрее. Интеграл определяет накопительный эффект изменения другой или других переменных. Например, интеграл по контуру, отвечающему границе круга, даст длину окружности, собирая ее по маленьким частичным длинам. В этом смысле интеграл и дифференциал противоположны: интеграл определяет значительные изменения, а дифференциал относится к незначительным изменениям. А производная противоположна интегралу функционально: если некоторую функцию проинтегрировать, а затем продифференцировать (найти производную), то получится исходная функция. Кстати, обратное не верно и эти операторы не являются взаимнооднозначными.
В сухом остатке дифференциал интересует нас при изучении быстрых изменений, а интеграл полезен для исследования накопляющихся эффектов.
Поправьте, если я неправ в чем-то:) Просто использовать производные и интегралы проще, чем копаться в таких деталях:) Подписывайтесь, здесь мы будем и дальше обсуждать разные вопросы физики и математики.
