Задание:
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,8?
Решение:
1 способ
Составим дерево возможных исходов. Каждый последующий выстрел будет происходить только тогда, когда мишень не была поражена в прошлый раз. Данный ряд можно продлевать до бесконечности.
Найдём вероятность поражения цели при разном количестве попыток.
1 попытка: мишень поражена при первом выстреле:
2 попытки: мишень поразили при первом выстреле или (не поразили при первом выстреле и поразили при втором):
Вероятность промаха при разовом выстреле:
Вероятность того, что мишень поразили при первом выстреле была посчитана ранее.
Посчитаем вероятность того, что мишень не поразили при первом выстреле и поразили при втором.
Вероятность поражения цели при двух попытках:
3 попытки: мишень поразили при первом выстреле или не поразили при первом выстреле и поразили при втором или не поразили при первом и втором выстреле и поразили при третьем.
Вероятность первого и второго исхода посчитана в предыдущих пунктах, посчитаем вероятность того, что мишень не поразили при первом и втором выстреле и поразили в третьем.
Вероятность поражения цели при трех попытках:
В итоге, получаем вероятность больше, чем 0,8.
Ответ: 3
2 способ
Но есть решение проще. Если вероятность поражения цели должна быть не меньше, чем 0,8, то вероятность промаха должна быть не больше, чем 0,2.
Таким образом, можно просто умножать вероятность промаха при разовой попытке до тех пор пока не получим число не более 0,2.
Подойдет как раз три попытки.
Еще больше полезной информации:
