Реактивным движением называется движение вследствие изменения (обычно уменьшения) массы тела. В данной статье мы будем рассматривать случай уменьшения массы тела.
Так как одно из применений реактивного движения является разгон ракеты до необходимой скорости, то мы здесь будем рассматривать движение ракеты.
Ракета с начальной массой Mₒ движется за счет выбрасывания из своего сопла продуктов сгорания с постоянной скоростью vₒ (относительно ракеты). В одну секунду отбрасывается rₒ кг/сек отработанных газов.
Отброс (расход) отработанных газов определяется частным изменения массы за промежуток времени t на t. Для малых промежутков времени можно записать:
Пусть в любой момент времени масса ракеты М, а ее скорость V. Тогда согласно закону сохранения количества движения, изменение импульса ракеты за малый промежуток времени dt равен количеству отброшенных отработанных газов:
Раскроем скобки и подведем подобные члены:
Подведем подобные члены и из-за малости отбросим член, где умножаются dt на dV. Тогда получим:
В левой части стоит произведение массы ракеты на производную ее скорости по времени. Из кинематики известно, что производная скорости по времени – это ускорения. А согласно второму закону Ньютона произведение ускорения на массу есть сила. Следовательно, в левой части уравнения есть сила тяги двигателя:
С другой стороны, масса ракеты в любой момент можно выразить через начальную массу ракеты следующим выражением:
Подставляя последнее выражение в дифференциальное уравнения и разделяя переменные, получим:
Интегрируя последнее уравнение получим следующее общее его решение:
Постоянную С находим из условия, что в начальный момент времени (t=0) ракета покоилась, то есть ее скорость была равна нулю. Следовательно:
Откуда:
В знаменателе под натуральным логарифмом стоит выражение массы ракеты в момент t от старта M. Откуда имеем:
Начальная масса ракеты равна масса пустой ракеты плюс масса топлива, вернее масса. Следовательно, мы получим:
Мы вывели формулу Константина Циолковского
Интересно посмотреть, как изменяется ускорения ракеты при постоянном расходе продуктов горения топлива и скорости его вылита из сопла ракеты. Из вышесказанного известно, что ускорение ракеты зависит от времени выражается следующим выражением:
Знак минус в числителе говорит нам о том, что ускорение ракеты направлена по той же примой, что и скорость вылетаемых газов, но направлено в противоположную сторону.
График изменения ускорения от времени приведен на рисунке.
Из рисунка видно, что ускорение, а значить и перегрузки для космонавтов во время старта, возрастают по времени по гиперболы.
Теперь найдем как должен изменятся расход вылетаемых газов из сопла ракеты, чтоб ускорение ракеты было бы постоянным. Пусть расход вылетаемых газов является функция от времени r(t). Тогда наше дифференциальное уравнение запишется так:
Так как ускорение постоянное, то и производная скорости по времени должна быть постоянной:
или
Решение данного интегрального уравнения было разобрано в качестве примера в статье “Простейшие интегральные уравнения”. Здесь мы приведем только его аналитическое решение:
Надо заметить, что в реальности данная закономерность сложнее, так как тут не учтена зависимость скорости вылатаемого отработанного газа от его расхода. Но это зависит от конструкции двигателя.
В заключении надо еще заметить, что в нашей модели не учтено затрачиваемая энергия на преодоления гравитационной силы Земли и сопротивления атмосферы. Поэтому масса требуемого топлива, чтоб достичь необходимой скорости, будет несколько больше.
На этом на сегодня все
До новых встреч
Продолжение: