Наряду с тем, что определенные задачи сводятся к решению дифференциальным уравнениям, есть задачи, решение которых сводятся к решению к интегральным уравнениям.
Большинство интегральных уравнений нельзя решить аналитически, то есть найти точную функцию, удовлетворяющую этому уравнению, а можно решить только приближенно, используя численные методы. Но есть, довольно узкий круг таких уравнений, которые все-таки можно решить аналитически. В этой статье мы рассмотрим, один вид таких уравнений:
Чтоб решить данное интегральное уравнение, надо свести его к дифференциальному. Для этого продифференцировать данного уравнения. Чтобы продифференцировать член, содержащий интеграл, то есть найти его производную, нужно воспользоваться следующей формулой:
Тогда дифференциал нашего уравнения будет:
Если данное дифференциальное уравнение возможно решить аналитически, то и наше интегральное уравнение аналитически решается.
Но общее решение дифференциального уравнения является семейство кривых. А решение интегрального уравнения является одна единственная кривая из этого семейства. Как же эту одну единственную кривую выбрать?
Из курса интегрального исчисления известно, что, если у определенного интеграла нижний предел равен верхнему, то такой интеграл от любой непрерывной функции равен нулю, то есть:
Это условие и будет условием выбора единственной кривой. Обычно выбирают постоянный предел интеграла. В большинстве случаев такой придел принимается xₒ. Но теоретически данное условие можно принят для любого x, но надо чтобы он принадлежал области определения искомой функции.
В качестве примера решим следующее интегральное уравнение:
В данном случае функция K является:
Дифференцируем наше уравнении:
Данное дифференциальное уравнение легко решается путем разделения переменных:
Интегрируем полученное уравнение:
В место постоянной С, подставляем:
Откуда получим:
Потенцируя, получим:
Мы нашли общее решение дифференциального уравнения, которым является семейство экспоненциальных кривых. Но чтоб найти среди этих кривых ту единственную, которая является решением нашего интегрального уравнения, подставим общее решение в наше интегральное уравнение и проверим при x=0. В этом случае верхний и нижний предел определенного интеграла в исходном уравнении равен нулю. Следовательно:
Так как любое неотрицательное число, возведенное в нулевую степень, равняется единице, то:
Окончательно получим:
Данная функция является решением исходного интегрального уравнения.
Для проверки решения исходного уравнения, возьмем определенный интеграл от найденного решения:
Подставив полученное выражение вместо интеграла в исходное уравнение, получим:
Мы получили истинное равенство, значит найденная нами функция является решением исходного интегрального уравнения.
На этом сегодня все.
До новых встреч.