Найти тему
Заметки программиста

Простейшие интегральные уравнения.

Наряду с тем, что определенные задачи сводятся к решению дифференциальным уравнениям, есть задачи, решение которых сводятся к решению к интегральным уравнениям.

Большинство интегральных уравнений нельзя решить аналитически, то есть найти точную функцию, удовлетворяющую этому уравнению, а можно решить только приближенно, используя численные методы. Но есть, довольно узкий круг таких уравнений, которые все-таки можно решить аналитически. В этой статье мы рассмотрим, один вид таких уравнений:

Чтоб решить данное интегральное уравнение, надо свести его к дифференциальному. Для этого продифференцировать данного уравнения. Чтобы продифференцировать член, содержащий интеграл, то есть найти его производную, нужно воспользоваться следующей формулой:

-2

Тогда дифференциал нашего уравнения будет:

-3

Если данное дифференциальное уравнение возможно решить аналитически, то и наше интегральное уравнение аналитически решается.

Но общее решение дифференциального уравнения является семейство кривых. А решение интегрального уравнения является одна единственная кривая из этого семейства. Как же эту одну единственную кривую выбрать?

Из курса интегрального исчисления известно, что, если у определенного интеграла нижний предел равен верхнему, то такой интеграл от любой непрерывной функции равен нулю, то есть:

-4

Это условие и будет условием выбора единственной кривой. Обычно выбирают постоянный предел интеграла. В большинстве случаев такой придел принимается xₒ. Но теоретически данное условие можно принят для любого x, но надо чтобы он принадлежал области определения искомой функции.

В качестве примера решим следующее интегральное уравнение:

-5

В данном случае функция K является:

-6

Дифференцируем наше уравнении:

-7

Данное дифференциальное уравнение легко решается путем разделения переменных:

-8

Интегрируем полученное уравнение:

-9

В место постоянной С, подставляем:

-10

Откуда получим:

-11

Потенцируя, получим:

-12

Мы нашли общее решение дифференциального уравнения, которым является семейство экспоненциальных кривых. Но чтоб найти среди этих кривых ту единственную, которая является решением нашего интегрального уравнения, подставим общее решение в наше интегральное уравнение и проверим при x=0. В этом случае верхний и нижний предел определенного интеграла в исходном уравнении равен нулю. Следовательно:

-13

Так как любое неотрицательное число, возведенное в нулевую степень, равняется единице, то:

-14

Окончательно получим:

-15

Данная функция является решением исходного интегрального уравнения.

Для проверки решения исходного уравнения, возьмем определенный интеграл от найденного решения:

-16

Подставив полученное выражение вместо интеграла в исходное уравнение, получим:

-17

Мы получили истинное равенство, значит найденная нами функция является решением исходного интегрального уравнения.

На этом сегодня все.

До новых встреч.