Разбираю подробно 25 задание ОГЭ модуля "Геометрия"

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=2:11. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ.

Решение. Рассмотрим треугольники ВКР и АКМ. В них углы ВКР и АКМ равны как вертикальные.

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу, справедливо равенство:

Сама теорема звучит так: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Отношение ВК к КМ равно 2 к 11 по условию, осталось найти отношение КР к АК.

Для этого нам не хватает данных задачи. Введем дополнительное построение. Проведем прямую МЕ||АР👇

∆ВКР ∾ ∆ВМЕ по двум углам (∠ В общий, ∠ ВКР=∠ ВМЕ как соответственные при параллельных прямых АР и МЕ и секущей ВМ).

Если треугольники подобны, то их сходственные стороны пропорциональны👇ВК:ВМ=КР:МЕ=ВР:ВЕ

По условию ВК:КМ=2:11, значит ВК:ВМ(11+2) =2:13.

Вывод. Коэффициент пропорциональности сходственных сторон равен 2:13 👇

ВК:ВМ=КР:МЕ=ВР:ВЕ=2:13

Выпишем нужное нам отношение:

КР:МЕ=2:13.

Выразим отсюда КР:

КР=2/13МЕ

Осталось выразить АК через МЕ и отношение площадей треугольников ВКР и АКМ будет найдено.

АР=2МЕ. Почему? МЕ - средняя линия ∆АСР. Докажем это. Если АМ=МС (по условию ВМ- медиана) и АР||МЕ (по построению), то по теореме Фалеса РЕ=ЕС. А отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и есть средняя линия. Она параллельна основанию и равна его половине. Поэтому АР=2МЕ.

АК выразим через МЕ. АК=АР-КР= 2МЕ-2/13МЕ= 24/13МЕ.

Итак, АК=24/13 МЕ, а КР=2/13МЕ

Подставим найденные значения КР и АК в равенство об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу 👇

и найдем это отношение:

ВК:КМ=2:11 по условию, помним это.

Задача решена. Она взята отсюда👇

Решения всех заданий из этого листочка вы можете найти на канале в предыдущих публикациях. Заходите, подписывайтесь.

В следующий раз покажу решение заданий 21,22 вот отсюда:

Недавно для своей подписчицы решала задачку по ВПР за 6 класс. Кому интересно, покумекайте. Я отправила ей свое решение.

У нас снова зима. Фото 24. 04. 2024г., вечер.

До новых встреч на канале.

Пишите комментарии, спрашивайте, что вас интересует.

С вами автор Любовь.