927 подписчиков

Разбираю подробно 25 задание ОГЭ модуля "Геометрия"

1 минута

88 прочтений

25 апреля

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=2:11. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ.

Решение. Рассмотрим треугольники ВКР и АКМ. В них углы ВКР и АКМ равны как вертикальные.

По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по одному равному углу, справедливо равенство:

Сама теорема звучит так: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Отношение ВК к КМ равно 2 к 11 по условию, осталось найти отношение КР к АК.

Для этого нам не хватает данных задачи. Введем дополнительное построение. Проведем прямую МЕ||АР👇

∆ВКР ∾ ∆ВМЕ по двум углам (∠ В общий, ∠ ВКР=∠ ВМЕ как соответственные при параллельных прямых АР и МЕ и секущей ВМ).

Если треугольники подобны, то их сходственные стороны пропорциональны👇ВК:ВМ=КР:МЕ=ВР:ВЕ

По условию ВК:КМ=2:11, значит ВК:ВМ(11+2) =2:13.

Вывод. Коэффициент пропорциональности сходственных сторон равен 2:13 👇

ВК:ВМ=КР:МЕ=ВР:ВЕ=2:13

Выпишем нужное нам отношение:

КР:МЕ=2:13.

Выразим отсюда КР:

КР=2/13МЕ

Осталось выразить АК через МЕ и отношение площадей треугольников ВКР и АКМ будет найдено.

АР=2МЕ. Почему? МЕ - средняя линия ∆АСР. Докажем это. Если АМ=МС (по условию ВМ- медиана) и АР||МЕ (по построению), то по теореме Фалеса РЕ=ЕС. А отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и есть средняя линия. Она параллельна основанию и равна его половине. Поэтому АР=2МЕ.