Решение дробных рациональных уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примерах решений заданий № 605 (а – в) из учебника по алгебре для 8-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А. Теляковского предлагаю вспомнить решение дробных рациональных уравнений.
Найдите корни уравнения:
Решение:
Общий знаменатель дробей ( x – 5 ) ( x + 5 ).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
В правой части уравнения мы использовали формулу произведения разности двух выражений и их суммы.
Раскроем скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен.
5x и –5x в сумме дают 0, –4x и –6x в сумме дают –10x, а сложив –20 и 30 мы получаем 10.
Перенесём свободный член в правую часть уравнения, соблюдая правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую:
–10x = –50 – 10;
x = –60 : ( – 10 );
x = 6.
При x = 6 общий знаменатель ( x – 5 ) ( x + 5 ) не обращается в нуль, значит, число 6 –корень уравнения.
В знаменателе второй дроби правой части уравнения вынесем за скобки общий множитель 3, получаем
В седьмом классе школьники проходили формулу разложения разности квадратов на множители.
Поскольку число 4 – это 2 в квадрате, выражение в скобках мы можем представить, как разность квадратов и разложить её на множители x – 2 и x + 2.
Общий знаменатель дробей 3(x – 2) (x + 2).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Ещё с первого класса школьники знают, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. А с пятого класса они знакомятся с правилом, что от перемены мест уменьшаемого и вычитаемого разность меняется на противоположное значение. Например: если от пяти отнять два, то получим три, а если от двух отнять пять, то получим минус три.
5 – 2 = 3;
2 – 5 = –3.
Поделив выражение на противоположное, мы получим –1, поэтому в числителе первой дроби будет 3 * (–1) * (x + 2) = –3(x + 2) = –3x – 6.
Мы получили квадратное уравнение с нечётным вторым коэффициентом, поэтому для решения уравнения удобнее воспользоваться формулой I.
D = 49 – 4 * ( –3 ) * 6 = 49 + 72 = 121.
121 > 0, значит уравнение имеет два корня.
В знаменателе дроби левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель y, получаем
Общий знаменатель дробей y (y – 1).
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей.
Перенесём слагаемые с одинаковой буквенной частью в одну сторону уравнения: y
– из правой части уравнения в левую, а свободный член 3 перенесём из левой в правую. При этом помним, что согласно правилу переноса слагаемых из одной части уравнения в другую (§41 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс)), знаки переносимых слагаемых меняются на противоположные:
–7y – y = –5 – 3;
–8y = –8;
y = –8 : –8;
y = 1.
В главе III §9 п. 25 учебника на странице 140 авторы учебника рекомендуют при решении дробных рациональных уравнений поступать следующим образом:
1) найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (целые числа рассматриваем в качестве дроби со знаменателем 1);
2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3) решить получившееся целое уравнение;
4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
