Умножение многочлена на многочлен
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примере решения номеров № 692 (а), 694 и 695 (а) из 8-го издания учебника по алгебре для 7-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского предлагаю вспомнить умножение многочлена на многочлен.
№ 692 ( а ):
Докажите тождество:
(x – 3)(x + 7) – 13 = (x + 8) (x – 4) – 2.
В главе IV §11 п.29 учебника на странице 146 даётся правило умножения многочлена на многочлен: чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Доказательство приводить не будем – это уже сделали авторы учебника. Нам надо при помощи этого правила сперва раскрыть скобки и привести подобные слагаемые в левой части тождества, затем в правой и полученные многочлены сравнить.
№ 694:
Докажите, что выражение (y – 6)(y + 8) – 2(y – 25) при любом значении y принимает положительное значение.
Из правила умножения двух отрицательных чисел следует, что любое отрицательное число, умноженное на себя – число положительное. Кроме того, любое положительное число в любой степени тоже число положительное. А в случае, если y будет равен нулю, всё выражение будет равно двум – то есть тоже число положительное.
№ 695 ( а ):
Докажите, что при всех целых n значение выражения n(n – 1) – (n + 3)(n + 2) делится на 6.
Раскроем скобки, пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен и приведём подобные слагаемые:
В полученном двучлене оба члена делятся на 6. Для наглядности множитель 6 можно вынести за скобки, получаем:
6(–n + 1).
При любом натуральном n произведение 6(–n + 1) делится на 6, поэтому значение выражения n(n – 1) – (n + 3)(n + 2) тоже делится на 6.