Теорема: Все точки плоскости, расположенные по одну сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на прямой, параллельной данной
Пусть произвольные точки A и B расположены по одну сторону от прямой a и расстояние от точки A до прямой a равно расстоянию от точки B до прямой a, то есть AC=BD, где AC⊥a, BD⊥a.
Докажем, что AB||a.
Доказательство: так как AC⊥a и BD⊥a, то AC||BD, значит, накрест лежащие углы ∠ACB и ∠CBD равны.
ΔABC=ΔDBC по двум сторонам и углу между ними (AC=BD по условию теоремы, BC — общая сторона, ∠ACB=∠CBD как накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC), следовательно ∠ABC=∠BCD.
∠ABC и ∠BCD — накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BC b и они равны, следовательно, AB||CD, то есть AB||a, что и требовалось доказать.
