По обучении в современной школе, к сожалению, далеко не все хорошо знакомы с пределами, хотя идея их довольно простая и нужно всего пару уроков о них, чтобы затем проще было понять производные и интегралы. Для понимания пределов нужно добавить во множество действительных чисел еще две абстракции: почти ноль и бесконечность (бесконечность не допускается писать наряду с числами, а только как результат вычисления предела, lim(...)=∞). Если, например, знаменатель стремится к нулю (при некоторой ненулевой константе в числителе), то результат вычисления предела будет равен бесконечности, а если, наоборот, знаменатель стремится к бесконечности (при некоторой константе в числителе), то предел равен нулю.
Давайте разберем простую задачу, найдем, чему будет равна сумма 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^n). В этой сумме n+1 элементов, первое слагаемое 1/(2^0) = 1, второе 1/(2^1) = 1/2 и так далее. Если n=0, имеем всего одно слагаемое, тогда сумма равна единице. При n=1 (два слагаемых: 1 и 1/2) сумма равна 3/2. Если продолжать по одному слагаемому, будет получать после 1 и 3/2: 7/4; 15/8; 31/16; ... (2^(n+1)-1)/(2^n). Каждый раз, когда мы добавляем слагаемое 1/(2^n), ровно такого же слагаемого 1/(2^n) не хватает до числа 2, которое, очевидно, никогда не будет достигнуто, но к которому стремится наша сумма при стремлении n к бесконечности. Если мы решили n устремить в бесконечность, нашу сумму 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^n) принято называть рядом (сумма из бесконечного числа слагаемых). Показать, что эта сумма стремится к числу 2 можно двумя способами. Во-первых, поскольку при добавлении очередного слагаемого 1/(2^n) до числа 2 остается это же слагаемое 1/(2^n), мы можем просто оценить эту остаточную величину при n, стремящемся к бесконечности. В числителе у нас единица, а в знаменателе имеем степенную функцию с основанием и показателем больше единицы, то есть неограниченно возрастающую при n, стремящемся к бесконечности. Конечное число, делящееся на бесконечность (в пределе) равно нулю. Поскольку в конце концов мы отстоим от числа 2 на слагаемое, стремящееся к нулю, рассматриваемая сумма стремится к 2. Второй способ является более прямым: нужно вычислить саму сумму (2^(n+1)-1)/(2^n) при n, стремящемся к бесконечности. В числителе этой формулы для суммы есть два слагаемых: неограниченно возрастающая степенная функция и единица, пренебрежимо малая величина по сравнению со степенной функцией. Отбросим единицу и получим выражение (2^(n+1))/(2^n), которое легко сокращается и дает значение 2.
Полученное число 2 называют пределом суммы. А число 0, к которому стремится слагаемое ряда в бесконечности, можно назвать пределом последовательности, если вместо суммы 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/(2^n) рассмотреть последовательность 1; 1/2; 1/4; 1/8; ...; 1/(2^n).
Чтобы хорошо почуствовать, что такое пределы и как с ними работать, нужно решить побольше разнообразных примеров с пределами, но определение и суть их довольно просты и доступны школьникам, знающим основные алгебраические функции на множестве действительных чисел. Если понять предел, легко будет разобраться с различными способами определения производных и интегралов.
p. s. Чтобы сразу увидеть новый материал в моем блоге в своей ленте, подписывайтесь! Буду рад комментариям, вопросам, предложениям.