Нет, это не рассказы в духе Перельмана о том, как математика проявляет себя в жизни.
Это о разрыве между математическими знаниями, полученными в школе/вузе, и их использованием в реальной жизни.
Давайте сначала вот тут почитаем:
Затронутая там проблема свойственна не только США. Просто там на нее обращают больше внимания.
Я бы добавил в число факторов
- недоверие к собственным математическим знаниям
- и неверие в их практическую применимость (математика это то, что надо выучить и сдать, а к жизни она не имеет отношения).
По-настоящему серьезные, существенные применения математики обычно требуют знаний, выходящих далеко за пределы школьной программы (например, принцип максимума Понтрягина). Поэтому цитированная статья оперирует "детскими" задачами. Когда же математика отработала свою задачу и получила результат, большинство предпочитают использовать этот результат, не задумываясь над тем, как он был получен.
Большей же частью математика полезна тем, что помогает понимать происходящее в жизни, и на этом основании находить ответы на вопросы типа "А что будет, если...?".
Но понимание мало кто ценит. И это плохо. Вот простой и относительно безобидный пример. Читаем в Википедии ("Глубина резко изображаемого пространства"):
Кроме того, глубина резкости прямо пропорциональна дистанции, на которую сфокусирован объектив.
В статье Математический взгляд на фотографию (п. 8.3) я показал, во-первых, что глубина резкости пропорциональна квадрату дистанции, а не первой степени. Пренебрежение доказательствами привело автора Википедии к ошибочному утверждению. Во-вторых, эта пропорциональность квадрату только приблизительная. В-третьих, она нарушается в уже неприемлемой степени в случае макросъёмки; а когда глубина резкости оказывается (почти) бесконечной, утверждение совсем теряет смысл. Чтобы видеть это, нужно понимание того, как эти отношения были получены.
Что касается фактора номер 2 (неверие в практическую применимость математических знаний), то с ним надо бороться систематически и продуманно. Это существенно, прежде всего, для школьной математики. Вот, например.
Эксперимент 1. Берем конический стакан и просим учащегося налить полстакана воды. И ещё один такой же стакан наполнить также наполовину. Сливаем второй стакан в первый и оцениваем величину ошибки.
После изучения темы "Объём конуса" повторяем эксперимент.
Эксперимент 2. "Честные" рычажные весы, один стальной кубик со стороной
2 см и десяток кубиков из того же материала со стороной 1 см. Прикладывая кубики, демонстрируем, что сторона большого ровно вдвое больше стороны маленького. Вопрос: сколько надо малых кубиков, чтобы уравновесить большой?
Много времени спустя, с более зрелыми умами, повторяем эксперимент, но с деревянными кубиками. Устраняем получившееся неравновесие маленькими клочками бумаги (картона — по обстоятельствам). Делаем вывод о приблизительности математического моделирования и оцениваем допустимую погрешность.
Математическое моделирование для маленьких
Рассмотрим вот такую задачу. Я прочитал её в Дзене, но, к сожалению, потом не нашёл ссылку.
Отцу 32 года, сыну — 5 лет. Через сколько лет возраст отца станет в 4 раза больше, чем возраст сына?
Это красивая задача, обычное, стандартное решение которой опирается на следующее неестественное предположение: (ровно) через год отцу станет 33 года, а сыну — 6 лет. Еще через год... и т.д. Надо определить количество таких годовых промежутков.
Посмотрим на эту задачу более серьёзно. Прежде, чем приниматься за решение, надо уяснить несколько вопросов.
1. Допустимы ли в ответе отрицательные числа? Некоторые считают, что если написано "через сколько лет", то в ответе может быть только положительное значение. Другие находят, что отрицательный ответ тоже может нести полезную информацию, как, например, имеет место в знаменитой задаче "где папа?":
Забегая вперед, отметим, что это решение основано на грубой модели. Если учесть физиологию зачатия и/или правила, по которым определяется акушерский срок беременности, то задача становится неразрешимой.
2. Должен ответ быть целым числом или допускаются дробные значения.
Условия задачи подобраны так, что ответ становится целым. Это не означает, что дробный ответ недопустим. Если считать его недопустимым, то при малейшем изменении чисел, входящих в условие, — например, что отцу не 32 года, а 31 — задача теряет разрешимость. Такие постановки задач отдают искусственностью и неинтересны для математики. Если дробные значения ответа приемлемы, то задача в принципе разрешима, но — при некоторых трактовках — недостаточно данных. Например, сейчас отцу не ровно 32 года, а 32.184 года, а сыну, допустим, 5.800 года. Эти дробные части по привычной в быту безалаберности просто проигнорировали.
Ответы на эти два вопроса, в частности, определяют, над какой числовой системой будет решаться задача.
3. Смысл фразы "сейчас отцу 32 года" тоже требует уточнения. Пример приведён только что. Другой вариант: последний раз 6 сентября в 7:30 утра его паспортный возраст, округлённый вниз, был 32 года. А анализировать, сколько лет прошло, мы будем каждый год тоже 6 сентября в 7:30 утра, при этом опять округляя возраст вниз до целого. И в таком случае задача опять может иметь решение только при случайном удачном сочетании числовых данных.
Уже видно, что ответы на эти три вопроса должны выбираться в комплексе. Надо придать четкий смысл словам "через сколько лет", "сейчас отцу 32 года", и "станет в 4 раза больше". И когда смысл этих слов определён, мы получаем то, что называется математической моделью задачи. И теперь можно применять математические методы. В зависимости от построенной модели задача может оказаться
- разрешимой — однозначно или нет,
- случайно или искусственно разрешимой,
- неразрешимой
- или задачей с недостаточными данными.
У кого-то из деятелей "педагогических наук" может появиться соблазн внедрить эти соображения в учебный процесс и толкнуть диссер. Нуачо, тут знаний за 7 класс достаточно. Сделать так значит на корню загубить систему образования, которая и так еле дышит.
А вот когда учащиеся приобретут достаточный опыт осмысленного решения разнообразных содержательных задач, можно рассмотреть примерно такую серию.
Отцу 32 года, сыну — 5 лет. Через сколько лет возраст отца станет в 4 раза больше, чем возраст сына?
Отцу 31 год, сыну — 5 лет. Через сколько лет возраст отца станет в 4 раза больше, чем возраст сына?
Отцу 32.184 года, сыну — 5.800 лет. Через сколько лет возраст отца станет в 4 раза больше, чем возраст сына?
Сейчас 6 сентября 7:30. Отец родился 21 мая в 16:44, и ему 32 года. Сын родился 9 марта в 23:18, и ему сейчас 5 лет. Через сколько лет возраст отца станет в 4 раза больше, чем возраст сына?
Последний вариант формулировки открывает возможности разнообразных толкований. Во-первых, используя доступные данные о рождениях и о сейчасе, можно вычислить дробные значения возрастов и получить дробный ответ. Во-вторых, можно вычислить, что через три с дробью года 21 мая в 16:44 отцу стукнет 36, а сыну будет 9 лет. В-третьих,... двух уже достаточно.
Внимание, вопрос: какого еще данного не хватает в последней формулировке?
