Оригинальный разбор у Волкова здесь: https://dzen.ru/video/watch/62f08aefebd59d6a0d022250
Условие задачи:
ДАНО: АВСD - квадрат, на стороне АВ построен равнобедренный треугольник АВN, причем BN=AN, при этом угол N равен 30 градусам.
НАЙТИ: величину угла AND
Важно: нельзя использовать тригонометрию. :)
Начнём?
Что бы вы предложили сделать в 1-ю очередь?
Да, пожалуй я с вами соглашусь - сделаем дополнительное построение. Построим отрезок NF перпендикулярно АВ. Тогда точка F (принадлежит АВ) будет серединой АВ. Почему? Потому что треугольник АВN - равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, будет также являться медианой и биссектрисой треугольника.
Ого! Теперь у нас есть еще и угол в 15 градусов, угол FNA! Наверное, это тоже что-то может нам дать? Наверняка :)
Теперь сфокусируемся на нижних треугольниках и не будем указывать отрезок BN, чтобы не отвлекаться от важного.
Что теперь?
Поскольку FN перпендикулярен АВ (по построению), а также АD перпендикулярен АВ (стороны квадрата), то FN параллелен AD.
Тогда получается, что по теореме о параллельных прямых и секущей углы FNA и NAD равны. Соответственно последний также равен 15 градусам. В разборе у Валерия это тоже было найдено быстро, чуть по-другому.
В целом это все просто. Но как подобраться к искомому углу?
А что, если использовать площади? Иногда это самый короткий путь к решению. Как минимум, что-то оттуда можно будет вывести.
Давайте продолжим сторону AD и из точки N опустим на нее перпендикуляр. Тогда мы получим прямоугольный треугольник ANK с углом 15 градусов:
У него есть замечательное свойство. Его высота, проведенная из прямого угла, равна четверти гипотенузы. Мы уже однажды разбирали это на нашем канале. Но, пожалуй, стоит еще раз записать видео или статью на эту тему (разбор теоремы опубликован здесь: >>). Важно, что, зная это свойство, мы сможем выразить площадь треугольника ANK двумя путями. Один вариант - это половина произведения катетов. А другой - основание (роль которого играет гипотенуза) на проведенную к ней высоту KH, или просто h. Откуда мы сможем найти нечто очень важное!
Приравнивая площади, получим, AK*NK=AN*NH=AN*(1/8)*AN=(1/8)AN^2
Обозначим AF=c, AD=2c, DK=y. KN также будет равна "с", так как AFNK - прямоугольник.
А сейчас давайте перепишем то, что мы получили при сравнении площадей.
4(2с+у)*с=AN^2
Многовато неизвестных, правда? А давайте добавим теорему Пифагора:
AN^2=(2c+y)^2+c^2
Теперь то, что нам нужно - это решить систему уравнений:
8с^2+4cy=4c^2+4cy+y^2+c^2 >> 3c^2=y^2. Отсюда следует следующее:
Понимаете, что это значит? Давайте еще раз посмотрим на построение. Что вы замечаете особенного, если смотрите на треугольник DNK? Соотношение катетов на что-то похоже, правда? Если нет, то давайте посчитаем, чему будет равна гипотенуза. Она окажется равной 2с!
Помните, что это значит?
Если в треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он лежит напротив угла в 30 градусов! Итак, наш треугольник имеет углы 30-60-90, угол KDC равен 30 градусам, значит угол DNK равен 60 градусам. А это значит, что угол FND равен 90-60=30 градусам.
Ну, и окончательный вывод. Если угол FNA равен 15 градусам, а угол FND равен 30 градусам, то искомый угол AND будет равен 15 градусов. Это и есть наш ответ!
Да, это не за полминуты получилось, но в этом решении нет сложных построений, используются достаточно простые теоремы, включая теорему Пифагора.
На этом всё. Пишите, понравилось ли это решение? Какие еще видите варианты?
Заранее ценю каждый ваш ответ. Спасибо за интерес и отклик!
#математика #геометрия #прямоугольныетреугольники #высотатреугольника #легко #интересно #теоремы #высота #доказательство #лайфхаки
