Наши экскурсии по Луне прекращены на время войны. Но изредка мы нарушаем тишину в просветительских целях. Сегодня мы делаем это снова.
В прошлой статье мы прокомментировали очередное «разоблачение» старта лунного модуля с Луны. И хотя в комментариях к своей статье мы писали, что не видим смысла самим измерять и считать что-нибудь, но... Наступил выходной, и надо же чем-то скрашивать долгие зимние вечера в наших северных краях? И хоть исходное качество данных (ролик на Youtube) оставляет желать много лучшего, мы всё-таки решили провести небольшое, буквально получасовое исследование — собственно, не исследование даже, а что-то вроде школьной лабораторной работы. Мы сразу предупредим, что ни само исследование, ни его результаты ни на что не претендуют. В первую очередь потому, что мы точно не знаем, насколько сохранена в ролике оригинальная скорость записи; а также потому, что преобразование от исходного телевизионного сигнала до MPEG-ролика приводит к неконтролируемым изменениям отдельных кадров. Но всё-таки если предположить, что оригинальная скорость сохранена и что из ролика можно что-то вытянуть...
Измерения
Мы разложили исходный ролик на кадры с помощью бесплатного онлайн-сервиса. Момент старта приходится на 319 кадр. Измерения мы начали с 340 кадра, когда расстояние между платформой и улетающей кабиной превысило 1,5 метра, так что можно предположить, что на этом расстоянии роль отражённых от ступени газов стала (пренебрежимо?) малой.
Далее мы сделали скриншот с каждого 3-го кадра: в работу пошли кадры 340, 343, 346 и так далее. Мы остановились на 403 кадре, когда нижняя ступень перестала быть видна. Исходя из того, что ролик содержит 25 кадров в каждой секунде, для каждого кадра мы посчитали время от старта. Так, 340 кадру соответствует (340-319)/25 = 0,84 секунда. Измерения закончились, таким образом, на 3,36 секунде. На случай, если кто-то захочет наши измерения повторить, мы выкладываем файлы Photoshop-а для миссий с 15 по 17 с отдельными кадрами в слоях (файлы для первых двух миссий используются в следующей статье). Внизу стека первые кадры, вверху последние.
Что же мы, собственно, измеряли? Поскольку съёмка велась телеобъективом, и масштаб кадра непрерывно менялся, мы измеряли две величины: 1) пиксельное расстояние между центром платформы и дном взлетающей ступени; 2) пиксельное расстояние от дна ступени до крыши. Измерение выполнялось фотошоповской линейкой в один приём, без попыток сделать это максимально точно (всё равно интерполяция кадров в MPEG привносит значительный разброс). Разумеется, мы также не учитывали перспективное искажение. Наконец, мы перевели расстояние между ступенями в метры, воспользовавшись ступенью как масштабным эталоном (высота взлётной ступени от нижнего обреза до крыши 9 футов 3,5 дюйма, что соответствует 2,83 метрам).
Модель
Мы предположили, что подъём ступени происходит по закону равноускоренного движения
h = h0 + v0•(t-t0) + (a/2)•(t-t0)².
Здесь h — высота ступени в момент времени t, h0 — высота, с которой начинается равноускоренный подъём (предположительно небольшая), t0 — момент, с которого подъем становится равноускоренным, v0 — скорость на высоте h0 и a — постоянное ускорение. Мы задались некоторыми начальными значениями t0, h0, v0 и a как параметрами модели и вычислили для каждого момента времени «модельную» высоту h (столбец G). Затем мы вычислили разность между модельной высотой и измеренной (столбец I) и квадрат этой разности (столбец J). Наконец, мы сложили все квадраты разностей, нашли их среднее и вычислили квадратный корень из результата, получив среднеквадратическое отклонение (ячейка J28, root mean square deviation, оно же RMSD). Грубо, просто, без претензий. Так это выглядит в Excel-файле для произвольных модельных параметров:
Нахождение модельных параметров
Есть много хороших и полезных способов для нахождения оптимальных модельных параметров. Ни одним из них этим субботним вечером мы не воспользовались: ведь школьники их не знают. Вместо этого мы поступили просто и грубо, по-школьному: мы нашли локальный минимум RMSD, вручную изменяя модельные параметры (ячейки N19—N22: в ячейке N20 время t0, в ячейке N20 высота h0, в ячейке N21 скорость v0 и в ячейке N21 ускорение a). Нашей целью было добиться минимального значения в ячейке J28.
Конечно, этот способ нельзя считать строгим, и конечно, он никак не гарантирует глобального минимума. Если кто-то желает нас поправить, использовать более строгие и стабильные математические методы, мы будем рады любым предложениям и исправлениям. Все наши измерения и расчёты можно найти здесь. (Примечание: уже после написания статьи мы несколько изменили набор модельных параметров для большей математической строгости, так что нынешняя версия расчётов соответствует этому изменению. Изменение описано в следующей статье, оно не оказывает совершенно никакого влияния на результаты). Так выглядит наше решение:
Таким образом, по нашим прикидкам вышло, что ступень стала равноускоренно подниматься с высоты около h0 = 0,7 метров, при этом её скорость в этот момент составляла v0 = 1,6 метр в секунду, и она двигалась с постоянным ускорением a = 1,8 м/с². Высоты равноускоренного подъёма ступень достигает за t0 = 0,3 секунды.
Для наглядности в столбец H мы добавили среднее ускорение, рассчитанное без учёта начального участка, то есть основанное на упрощённой формуле h = (a/2)•t².
Интерпретация результатов
Мы подчёркиваем, что наши исходные данные плохо документированы, измерения могут содержать заметные погрешности, а метод обработки груб (но вполне соответствует грубости исходного материала). Нам не удалось получить ни ускорения в a = 4,5 м/с², полученного нашим старым знакомым Еськовым поначалу, ни a = 3,3 м/с², достигнутого им после работы над ошибками. Мы не получили также начальной скорости v0 = 4,1 м/с. Вместо этого мы получили скромное ускорение 1,8 м/с² и начальную скорость 1,6 м/с на высоте 0,7 метров. Как так вышло, ведь мы использовали тот же самый исходный материал? Для нас это в некотором роде загадка (ну, или не совсем загадка...).
Как это было на самом деле?
Не мудрствуя лукаво и не разыскивая долго источники, мы можем взять стартовое отношение тяги взлётной ступени к её (лунному) весу из Википедии: видимо, оно было близко к 2,12. Стало быть, при лунном ускорении 1,6 м/с² можно ожидать стартового ускорения ступени 1,6•(2,12-1) = 1,8 м/с². Как ни странно, эта цифра полностью совпала с нашими измерениями. Такой точности от своей работы мы в этот субботний вечер никак не ожидали. Уж на 20 % погрешности мы могли бы рассчитывать!
У нас, разумеется, нет газодинамического расчёта (ни даже данных для него), чтобы проверить, какую же скорость отражённые от платфомы газы сообщат ступени до того, как подъём станет равноускоренным. Скорость 1,6 м/с на высоте 0,7 м и через 0,3 секунду после старта несовместимы с равноускоренным движением и соответствуют начальному толчку, сообщаемому отражёнными от платформы газами. Среднее ускорение на этом участке близко к 1,6/0,3 = 5,3 м/с², или чуть больше 0,5 g, максимальное может несколько превысить 1 g. Поскольку астронавты должны были знать об этом толчке, который длился долю секунды, он не мог представлять для них проблемы. Сразу после этого ступень выходила на почти равноускоренное (в первые секунды) движение, причём именно с тем ускорением, что ей предписано в методичках НАСА.
Насколько чувствительна модель к начальным условиям? Каждый может поэкспериментировать сам. Изменение ускорения в пределах ±0,2 м/с² в принципе возможно, более серьёзные отклонения заметно ухудшают модель.
Если копнуть немного глубже, то можно дополнительно заметить, что из модельных параметров t0, h0 и v0 независимы лишь два, а третий можно изменять; при этом мы должны рассматривать лишь разумные значения параметров. Такое исследование выходит за рамки школьной лабораторной работы. Но легко убедиться, что мы получим точно такое же соответствие модели и измерений, если, например, увеличим высоту h0 до 1,06 м, время t0 до 0,5 с и скорость v0 до 2 м/с. Этот произвол в выборе модели зависит, по сути, от того, до какой высоты h0 отражённые газы ощутимо влияют на взлётную ступень. Чем больше эта высота, тем меньшее ускорение начального толчка испытывают астронавты. Невозможно определить эту высоту только из нашей модели, здесь требуется физический расчёт воздействия газов на ступень.
В любом случае, ускорение a к независимым параметрам не относится, произвола в его выборе нет. Оно полностью определяется измеренными значениями высоты подъёма ступени. И нет никаких причин подозревать, чтобы ускорение сколь-нибудь значительно отличалось от 1,8 м/с². Методички НАСА все-таки исправно работают!
Любопытно также, каким образом другие люди завышали ускорение стартовавшей ступени? Мы, если честно, не знаем. Но, если посмотреть на столбец H, можно попытаться догадаться, что может привести к неверным выводам: средние ускорения всё время больше действительного. На основании этого нетрудно понять, почему Еськов получил (после работы над ошибками) для «Аполлона-17» меньшее ускорение, чем для двух предыдуших экспедиций: действительно, чем выше поднимается ступень, тем меньше среднее ускорение, получаемое по упрощённой модели! Ну а кабина «Аполлон-17» была отслежена до большей высоты.
Возможно, читатели захотят проверить наши измерения и поправить нас. Мы будем им очень признательны. Раскадровка здесь, вычисления здесь. И, кроме того, есть ещё видеозаписи старта «Аполлона-15» и «Аполлона-16». Может быть, кто-нибудь захочет перепроверить и их?
Но мы этого делать не будем, по крайней мере сейчас. Если кто-нибудь обнаружит у нас ошибку, мы обязательно внесём исправления.
С вами старт лунного модуля изучал El Selenita.
