Задача: В равнобедренном треугольнике АВС провели биссектрису CL угла при его основании. На луче АС отложили отрезок АK, равный ВL. Докажите, что точки В, L, K и C лежат на одной окружности.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Если точки B, L, K и C лежат на одной окружности, то AK и AB являются её секущими, тогда по теореме о произведении отрезков секущих AL * AB = AC * AK. Докажем справедливость данного равенства.
По св-у биссектрисы AL/BL = AC/BC; AL = BL * AC/BC ⇒ AL * AB = BL * AC/BC * AB = BL * AC (AB = BC по определению р/б треугольника). Однако поскольку BL = AK, то BL * AC = AC * AK ⇒ AL * AB = AC * AK - справедливость доказана ⇒ точки B, L, K и C лежат на одной окружности.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
