Всем привет, дорогие читатели данного блога! Сегодня разберем несложную "экономическую" задачу с ЕГЭ 2023 года.
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Мы видим в задаче равные платежи, значит, проще всего её решить подробно расписав все периоды — благо их всего три. Для начала введем обозначения:
Также запишем дополнительное условие, которое и позволит нам справиться с задачей:
По условию задачи мы берем кредит на три года. Каждый год повторяется одна и та же схема: сумма долга на начало года — начисляется процент — производится выплата — сумма долга на конец года. При этом сумма долга на конец года переходит на следующий год.
Рассмотрим, как происходит начисление процента:
Чтобы начислить 25% на некоторую сумму, достаточно умножить эту сумму на 1.25, или 5/4. При этом в данной задаче (и подобных ей) удобно оперировать именно обыкновенными дробями. Распишем, что произойдет в первый год:
Полученная сумма будет начальной для следующего периода, распишем его:
Всё одинаково! Начисляем процент, выплачиваем платеж. В последнем году сумма должна стать равна нулю — кредит будет выплачен:
Подставим в полученное уравнение сумму, выраженную через a — то самое дополнительное условие:
Можно было бы опустить громоздкие вычисления, но вдруг они кому-нибудь помогут (не забываем, что решать нужно без калькулятора). Раскроем скобки:
Приведем подобные и сократим:
Опять раскрываем скобки:
И опять приводим подобные и сокращаем:
Раскроем скобки в последний раз:
Получили следующее уравнение:
К нашему счастью, 6550 делится на 131, выразим a:
Сократив, получим:
Заметим, что 16 — это степень двойки:
Умножив основания степеней с одинаковыми показателями получим:
Чтобы получить сумму, выплаченную банку, нужно умножить всё на 3:
На сегодня всё, задача очень простая, много некрасивого счёта (особенно, если не переходить к обыкновенным дробям). Подписывайтесь на канал, пишите комментарии, делитесь с коллегами и друзьями: математики будет много! Спасибо за внимание!
