Задача: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Касательные к ней, проведённые в точках A и C, пересекаются на продолжении его диагонали BD. Докажите, что произведения противоположных сторон этого четырёхугольника равны.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По теореме об угле между касательной и хордой ∠MCB = 1/2 * ︶BC ⇒ ∠MCB = ∠MDC. Аналогично ∠BAM = ∠MDA.
Рассмотрим △MCB и △MDC:
- ∠MCB = ∠MDC (по вышедок.)
- ∠CMD - общий
⇒ △MCB ~ △MDC по I признаку подобия треугольников ⇒ BC/CD = CM/MD.
Рассмотрим △MAB и △MDA:
- ∠BAM = ∠MDA (по вышедок.)
- ∠AMD - общий
⇒ △MAB ~ △MDA по I признаку подобия треугольников ⇒ AB/AD = AM/MD.
Итак, BC/CD = CM/MD и AB/AD = AM/MD. Однако по теореме об отрезках касательных CM = AM ⇒ CM/MD = AM/MD ⇒ BC/CD = AB/AD. Тогда AB * CD = BC * AD.
Что и требовалось доказать.
Задача решена.
