Хотя пчелам этот вопрос может показаться сугубо теоретическим, геометры полагают совершенно иначе. А для некоторых философов здесь скрывается множество загадок. Подчиняются ли пчелы инстинкту, имеющему божественную природу, или же этот инстинкт сформировался в ходе эволюции? Быть может, восковые соты принимают форму шестиугольных призм под тяжестью других сот, расположенных выше? Почему соты имеют именно такую форму?
Будем отвечать на эти вопросы с самого начала. Замощением, как правило, называется покрытие плоскости равными многоугольниками, которые могут быть правильными, выпуклыми, неправильными, невыпуклыми, иметь прямолинейные или криволинейные стороны. Уже Папп Александрийский (III-IV века до н.э.) обратил внимание на «Прозорливость пчел» и, говоря о пчелиных сотах, заметил, что правильные шестиугольники оптимальны в том смысле, что характеризуются наименьшим периметром среди всех возможных замощений из правильных многоугольников. Таким образом, шестиугольные соты наилучшим образом соответствуют цели пчел - использовать для их постройки наименьшее количество воска.
Но не все последующие мудрецы были согласны с Паппом. Кеплер и Дарвин, например, полагали, что пчелы строят соты в форме цилиндров, которые принимают форму шестиугольных призм, прекрасных в своей симметрии, под весом вышележащих сот.
Постепенно геометрам удалось распутать этот клубок загадок, прежде всего благодаря открытиям Ласло Фейеша Тота (1915-2005). Он доказал, что из всех выпуклых многоугольников (правильных и неправильных), которыми можно замостить плоскость, правильный шестиугольник имеет наименьший периметр при заданной площади. После этого до окончательного решения задачи оставался один шаг. Американский математик Томас Хейлс (род. 1958), который к тому моменту уже доказал гипотезу Кеплера об упаковке шаров, занялся задачей о пчелиных сотах и спустя несколько месяцев нашел ее решение: замощение плоскости выпуклыми шестиугольниками максимально эффективно среди всех возможных, оно более эффективно, чем любое замощение невыпуклыми многоугольниками и многоугольниками, имеющими одну или несколько криволинейных сторон.
Решение Хейлса можно использовать и при укладке плитки: если вы хотите облицевать плоскую поверхность, наилучшим выбором станут шестиугольные плитки.