Задача: Дан вписанный в окружность четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 1, BC = 2, CD = 3, DA = 4. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и DA — в точке Q. Найдите сумму длин отрезков PB, PC, QA и QB.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Поскольку по св-у вписанного четырёхугольника сумма его противоположных углов равна 180°, то ∠BCD = 180° - ∠BAD. Тогда ∠PCB = 180° - (180° - ∠BAD) = ∠BAD. Аналогично ∠BCD = ∠QAB. Рассмотрим △PCB и △PAD:
∠P - общий
∠PCB = ∠BAD (по вышедок.)
⇒ △PCB ~ △PAD по I признаку подобия треугольников ⇒ BP/DP = CP/AP = BC/AD; x/(y+3) = y/(x+1) = 1/2. Рассмотрим равенства x/(y+3) = 1/2 и y/(x+1) = 1/2:
x/(y+3) = 1/2 ⇒ 2x = y+3
y/(x+1) = 1/2 ⇒ 2y = x+1
(сложим данные выражения)
2x + 2y = x + y + 4
x + y = 4
Рассмотрим △QAB и △QCD:
- ∠Q - общий
- ∠BCD = ∠QAB (по вышедок.)
⇒ △QAB ~ △QCD по I признаку подобия треугольников ⇒ BQ/DQ = AQ/CQ = AB/CD; t/(z+4) = z/(t+2) = 1/3. Рассмотрим равенства t/(z+4) = 1/3 и z/(t+2) = 1/3:
t/(z+4) = 1/3 ⇒ 3t = z+4
z/(t+2) = 1/3 ⇒ 3z = t+2
(сложим данные выражения)
3t + 3z = t + z + 6
2t + 2z = 6
t + z = 3
Итак, PB + PC = 4 и BQ + AQ = 3 ⇒ PB + PC + BQ + AQ = 7.
Ответ: 7.
Задача решена.
