Не так давно с несколькими учениками, которые готовятся к ЕГЭ, мы обсуждали тригонометрические формулы. Обычно школьники весь этот жуткий список из двух десятков формул учат наизусть, что приводит к забытым или перепутанным знакам, из-за которых случаются ошибки и слишком низкие баллы на экзамене. Потому что любая тупо заученная формула потенциально ведёт к ошибке. Если же у школьника есть представление о тригонометрии в целом и взаимосвязи между изученными формулами, то он может честно вывести забытую формулу из других. Причём иной раз сделает это быстрее, чем другой вспомнит.
Но не только это преимущество приобретает тот, кто имеет понимание и общее представление. Если смутно помнить примерный вид некоторых формул, будучи не совсем уверенным, скажем, в знаках, то выбрать правильную формулу можно несложной подстановкой конкретных значений аргумента. Сейчас мы обсудим, о чём идёт речь и как это сделать.
Синус/косинус суммы/разности
Первый после элементарных тождеств (то есть основного тригонометрического и следствий и него) блок тригонометрических формул - это выражение синуса и косинуса суммы и разности двух углов. Большинство читателей наверняка знают и помнят, что эти формулы "что-то про sin cos + cos sin или sin sin + cos cos" - ну, по крайней мере, большинство не самых слабых одиннадцатиклассников мне по памяти говорят примерно так. Некоторые справляются сопоставить наугад, но не все и не всегда. Хотя хорошая память у некоторых тоже встречается - учить формулы, как стихи, наизусть тоже можно (но вовсе не нужно).
Допустим, нам нужен синус разности. Как его узнать в этом списке? Достаточно просто подставить какие-нибудь табличные значения углов. Лично я люблю начинать с подстановки равных α и β: sin (α-α) = sin 0 = 0. А что мы видим среди наших кандидатов?
- cos α cos α + sin α sin α = 1 ≠ 0 (основное тригонометрическое тождество);
- cos α cos α - sin α sin α ≠ 0 (например при α = π/2);
- sin α cos α + cos α sin α = 2 cos α sin α ≠ 0 (например при α = π/4);
- sin α cos α - cos α sin α = 0.
В этом случае сразу ясно, что подходит только последняя формула. Аналогично, для косинуса разности подходит только первая, так как cos (α-α) = cos 0 = 1, а у второй и третьей формул легко подобрать значение α, при котором 1 не будет.
Различить две другие можно, поставив какое-нибудь значение α, при котором 2α - табличное, с известным синусом и косинусом. Таким образом, мы, смутно помня набор формул, сопоставили их друг другу.
Синус/косинус двойного/половинного угла
Здесь всё следует из формул выше. Но если в задаче встретился синус двойного угла, то вспоминать про синус суммы необязательно. Особенно если в памяти имеется информация, что кто-то из них 2 sin α cos α, а кто-то cos^2 α - sin^2 α. Легко выбрать, подставив в обе формулы α=0: в одном случае получится 0, а в другом 1. Сразу понятно, кто есть кто.
А для половинного аргумента обе формулы являются банальным следствием из формулы косинуса двойного - поэтому их вообще не нужно помнить, поскольку можно каждый раз мгновенно вывести. И любимая ошибка школьника "ой, а я в формуле знак перепутал" попросту станет невозможной.
Синус/косинус тройного угла
Чтобы честно вывести эти формулы, нужно подставить формулы для двойного в формулы сложения, но если мы смутно помним, что в итоговой формуле для, скажем, синуса должны присутствовать первая и третья степень синуса, а также коэффициенты 3 и 4 с какими-то знаками, то выбирать формулу нам предстоит опять всего из четырёх вариантов:
Подставляем любое конкретное значение α: например, π/2. Первые две формулы верно дают значение -1, а вторые две отвергаются. Для того, чтобы выбрать между ними, имеет смысл подставить π/3 или π/6. Кстати, дальше будет пункт о том, как не перепутать их синусы.
Для α=π/6 первая формула верно даёт 1, а вторая приводит к невозможному значению синуса (меньше -1). Для α=π/3, аналогично, первая формула верно даёт 0, а вторая приводит к неверному значению.
О табличных значениях
Синусы и косинусы углов в 0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5π/6 и π в школах (по крайней мере раньше) учили наизусть. И, естественно, в ответственный момент какое-нибудь из значений вылетит из головы или подменится соседним. Как его правильно вспомнить или честно вычислить?
Для 0, π/2 и π всё просто - нарисовав окружность и отметив соответствующие им точки, мгновенно получаем и синус, и косинус. Для π/4 (и 3π/4, 5π/4, 7π/4) - по картинке видно, что синус равен косинусу (в 3π/4 и 7π/4 - по модулю равен, а знаков противоположных), подстановка равных синуса и косинуса в основное тригонометрическое тождество быстро приводит к ответу.
Для углов π/6 и π/3 есть разные пути. Первый хорош для тех, кто в 7 классе ещё учился геометрии и помнит мантру про "катет, лежащий против угла в 30 градусов (π/6), в два раза меньше гипотенузы", а также с 9 класса не забыл, что синус - это отношение противолежащего катета к гипотенузе (я совсем недавно выучил, где там прилежащий, а где противолежащий, так что мне этот метод не поможет). Второй заключается в том, чтобы просто отложить углы π/6 и π/3 на единичной окружности (в том числе мысленно) и убедиться, что синус π/6 меньше синуса π/3, а с косинусами - наоборот. Но для этого необходимо помнить оба числа, чтобы расставить их в правильном порядке.
Заключение
Если школьник обладает пониманием мироустройства, то вероятность проблем на экзамене для него минимальна. Даже в стрессовой ситуации, когда откажет и память, и заученный шаблон, все формулы будет легко восстановить достаточно быстро и успешно. Все приведённые выше лайфхаки работают только у того, кто понимает математику. Остальным же ничего не поможет.
